लागू कार्यों का कार्यान्वयन अभिन्न की गणना के लिए कम हो गया है, लेकिन सटीक गणना करना संभव नहीं है। कभी-कभी गायन की सटीकता की गायन दुनिया के साथ अभिन्न गायन के मूल्य को जानना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, एक हजारवें हिस्से तक।

snuyut zavdannya, यदि आप आवश्यक सटीकता के साथ रैखिक अभिन्न के अनुमानित मूल्य को जानते हैं, तो आप संख्यात्मक एकीकरण उसी तरह कर सकते हैं जैसे सिम्पोस विधि, समलम्बाकार, आयताकार। सभी विपदकी गायन सटीकता के साथ विराहुवत योग की अनुमति नहीं देते हैं।

यह लेख न्यूटन-लीबनिज़ सूत्रों की जाँच करता है। पहले अभिन्न की सटीक गणना के लिए यह आवश्यक है। रिपोर्टिंग एप्लिकेशन किए जाएंगे, सिंग इंटीग्रल में बदलाव के प्रतिस्थापन की जांच की जाएगी, और सिंग इंटीग्रल के मूल्य को भागों द्वारा एकीकृत किए जाने पर जाना जाएगा।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

नियुक्ति 1

यदि फलन y = y (x) एक सतत लूप है [a; बी], और एफ (एक्स) न्यूटन-लीबनिज सूत्रन्याय का सम्मान करो। हम її को इस प्रकार लिखते हैं: a b f(x) d x = F(b) - F(a) ।

किउ सूत्र महत्वपूर्ण है अभिन्न गणना का मुख्य सूत्र।

इस सूत्र को लाने के लिए स्पष्ट बदलती ऊपरी सीमा के साथ समाकलन की समझ को जीतना आवश्यक है।

यदि फलन y = f (x) एक विराम के साथ अबाधित है [a; b], यदि तर्क का मान x a; बी और इंटीग्रल दिख सकता है a x f (t) d t i को ऊपरी सीमा के कार्य द्वारा ध्यान में रखा जाता है। भविष्य में फ़ंक्शन के मान को ∫ axf (t) dt = (x) के रूप में स्वीकार करना आवश्यक है, यह अबाधित होगा, इसके अलावा, फॉर्म की गैर-एकरूपता ∫ axf (t) dt = "( x) = f (x) इसके लिए मान्य है।

यह तय है कि वृद्धिशील कार्य (x) वृद्धिशील तर्क ∆ x की पुष्टि करते हैं, गायन अभिन्न की पांचवीं मुख्य शक्ति को तेज करना आवश्यक है

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ax + xf (t) dt - axf (t) dt = = ∫ ax + xf (t) dt = f (c) x + x - x = एफ (सी) एक्स

डी वैल्यू सी ∈ एक्स; एक्स + x।

हम नेत्र Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) की समानता निर्धारित करते हैं। चुने हुए फ़ंक्शन के लिए, x → 0 के रूप में सीमा पर जाना आवश्यक है, फिर हम "(x) = f (x) के रूप का सूत्र लेते हैं।

एफ (एक्स) = Φ (एक्स) + सी = ∫ ए एक्स एफ (टी) डी टी + सी

आइए पहले अभिन्न के प्रथम श्रेणी की संख्याओं से एफ (ए) की गणना करें। टोडी ओट्रिम्यूमो कि

एफ (ए) = Φ (ए) + सी = ए एफ (टी) डी टी + सी = 0 + सी = सी, जाहिर है, सी = एफ (ए)। एफ (बी) की गणना करते समय परिणाम स्थिर होता है और इसे लिया जाता है:

एफ (बी) = Φ (बी) + सी = एबीएफ (टी) डीटी + सी = एबीएफ (टी) डीटी + एफ (ए), जाहिर है, एफ (बी) = ∫ एबीएफ (टी) डीटी + एफ ( ए ) . न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र ∫ a b f(x) d x + F(b) - F(a) लाने की समता

फलन की वृद्धि को F x a b = F(b) - F(a) के रूप में लिया जाता है। अतिरिक्त ज्ञान के लिए, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) जैसा दिखता है।

सूत्र को पूरा करने के लिए, समाकलन फलन y = f(x) के समाकलन फलन [a; बी ] आइए न्यूटन-लीबनिज़ की गणना, विकोरिस्ट सूत्र के अनुप्रयोग पर एक नज़र डालें।

बट 1

न्यूटन-लीबनिट्ज सूत्र का उपयोग करके सरल समाकल ∫ 1 3 x 2 d x परिकलित करें।

समाधान

आइए देखें कि y = x2 के रूप का एकीकृत कार्य एक रुकावट-मुक्त लूप है [1; 3 ] , और दूसरी तरफ भी एकीकृत। महत्वहीन इंटीग्रल की तालिका के अनुसार, यह संभव है कि फ़ंक्शन y = x 2 में x के वास्तविक मानों के लिए कोई अग्रणी मान न हो, जिसका अर्थ है कि x 1; 3 F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C लिखें। पहले s Z = 0 लेना आवश्यक है, फिर आवश्यक है कि F (x) = x 3 3 ।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा त्वरित और हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि सिंग इंटीग्रल की गणना भविष्य में देखी जाएगी ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3।

सुझाव:∫ 1 3 x 2 डी एक्स = 26 3

बट 2

न्यूटन-लीबनिट्ज सूत्र का उपयोग करके सरल समाकल ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x की गणना करें।

समाधान

बिना किसी रुकावट के फ़ंक्शन सेट है [-1; 2], बाद में, एक नए पर एकीकृत। अवकलन के चिन्ह को जोड़ने की अतिरिक्त विधि के लिए अपरिभाषित समाकल ∫ x ex 2 + 1 dx का मान जानना आवश्यक है, तब हम ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 d ले सकते हैं। (एक्स 2 + 1) = 1 2 एक्स 2+1+सी।

संभावित अवैयक्तिक प्राथमिक फलनों की खोज y = x · e x 2 + 1 , जो सभी x , x ∈ - 1 के लिए मान्य हैं; 2.

प्राथमिक को C = 0 पर लेना और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करना आवश्यक है। टोडी ओट्रिमेमो माइंड

- 1 2 एक्स एक्स 2 + 1 डीएक्स = 1 2 एक्स 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 ई 2 2 + 1 - 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई 2 (ई 3 - 1)

सुझाव:- 1 2 एक्स ई एक्स 2 + 1 डी एक्स = 1 2 ई 2 (ई 3 - 1)

बट 3

इंटीग्रल - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x परिकलित करें।

समाधान

वेद्रेज़ोक - 4; - 1 2 उन कार्यों के बारे में बात करें जो बिना किसी रुकावट के अभिन्न के संकेत के तहत जाने जाते हैं, इसलिए उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। हम अज्ञात प्राथमिक फलन y = 4 x 3 + 2 x 2 जानते हैं। हम स्वीकार करते हैं कि

4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

प्राथमिक F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x todi लेना आवश्यक है, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके, हम अभिन्न लेते हैं, जो गणना योग्य है:

- 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

हम एक और अभिन्न की गणना के लिए एक संक्रमण करते हैं।

Z vіdrіzka [-1; 1] शायद, कि एकीकृत कार्य अप्रतिबंधित होना महत्वपूर्ण है, उस सीमा तक x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + , तो यह स्पष्ट है कि आवश्यक मानसिक एकीकरण आवश्यक है। तब F(x) = 2 x 2 - 2 x y = 4 x 3 + 2 x 2 के लिए एक अतिरिक्त [-1; 1 ] , बिंदु O के हिस्से vіrіzku में स्थित हैं, लेकिन गंतव्य के क्षेत्र में प्रवेश नहीं करते हैं। इसके अलावा, रिमेंन और न्यूटन-लीबनिज़ फ़ंक्शन y = 4 x 3 + 2 x 2 z डबल [-1; एक]।

सुझाव: - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,फ़ंक्शन y = 4 x 3 + 2 x 2 z डबल [-1; एक]।

न्यूटन-लीबनिट्ज सूत्रों को आजमाने से पहले, सिंग इंटीग्रल के आधार को ठीक से जानना आवश्यक है।

गायन अभिन्न में परिवर्तन का प्रतिस्थापन

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) रैखिक और अबाधित z v_drіzka [ a ; बी], लेकिन यह भी स्पष्ट रूप से अवैयक्तिक [ए; बी] फ़ंक्शन का मान x = g (z) क्षेत्र α को सौंपा गया है; β s स्पष्ट रूप से बिना किसी रुकावट के, de g (α) = a is g β = b , यह आवश्यक है, क्या? ए बी एफ (एक्स) डी एक्स =?

दिए गए सूत्र को केवल निश्चित किया जा सकता है, यदि समाकलन a b f (x) d x की गणना करना आवश्यक हो, तो समाकल ∫ f (x) d x जैसा दिख सकता है, इसकी गणना प्रतिस्थापन विधि की सहायता से की जा सकती है।

बट 4

9 18 1 x 2 x - 9 d x के रूप में सरल समाकलन की गणना कीजिए।

समाधान

इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को इंटीग्रेशन के लिए नॉन-इंटरप्टिबल माना जाता है, और उसी इंटीग्रल का उपयोग उसी स्थान पर किया जा सकता है। मान 2 x - 9 = z x = g (z) = z 2 + 9 2 है। मान x \u003d 9 का अर्थ है कि z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, और x \u003d 18 के साथ यह स्वीकार्य है कि z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3 फिर g α \ u003d जी (3) \u003d 9, जी β = जी 3 3 = 18 । प्रतिस्थापित करते समय, y का मान सूत्र से लिया जाता है a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z लिया जाता है, जो

9 18 1 x 2 x - 9 dx = 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

गैर-महत्वपूर्ण समाकलों की तालिका के अनुसार, यह संभव है कि पूर्व फलन 2 z 2 + 9 का मान 2 3 a r c t g z 3 हो। फिर, जब न्यूटन-लीबनिज के सूत्र अटक जाते हैं, तो यह आवश्यक है कि

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 3 3 3 3 = 2 3 3 3

ज्ञान का उपयोग विजयी सूत्र a b f (x) d x = α β f (g (z)) g "(z) d z के बिना किया जा सकता है।

1 x 2 x - 9 d x के रूप के मुड़ समाकल को बदलने की विधि के लिए, आप परिणाम प्राप्त कर सकते हैं 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C ।

न्यूटन-लीबनेट्स के सूत्र और गणना योग्य सेवनी इंटीग्रल के लिए Zvіdsi zrobchimo कैलकुलस। हम स्वीकार करते हैं कि

9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 आर्कटगज़ 3 9 18 = = 2 3 आर्कटिक 2 18 - 9 3 - आर्कटिक 2 9 - 9 3 = = 2 3 आर्कटिक 3 - आर्कटिक 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d 18

परिणाम तिरछे थे।

सुझाव: 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

सिंग इंटीग्रल की गणना के पिड घंटे के हिस्सों द्वारा एकीकृत करना

vіdrіzku पर यक्षो [ए; बी] असाइन किए गए और निर्बाध कार्य यू (एक्स) में वी (एक्स) है, इसी तरह पहले आदेश वी के समान "(एक्स) यू (एक्स) एकीकृत है, इसलिए एकीकृत फ़ंक्शन के लिए तीसरे क्रम का क्रम यू "(x) ) v (x) समानता abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - abu "(x) v (x) dx सत्य है।

सूत्र को उसी तरह बदला जा सकता है, अभिन्न की गणना करना आवश्यक है a b f (x) d x , इसके अलावा, f (x) d x को भागों द्वारा अतिरिक्त एकीकरण के लिए जाँचने की आवश्यकता है।

बट 5

प्रथम समाकल - 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x परिकलित करें।

समाधान

फ़ंक्शन x · sin x 3 + 6 vіdrіzku - 2 पर एकीकृत है; 3 2 का अर्थ है कि कोई रुकावट नहीं है।

चलो यू (एक्स) \u003d एक्स, फिर डी (वी (एक्स)) \u003d वी "(एक्स) डीएक्स \u003d पाप एक्स 3 + π 6 डीएक्स, इसके अलावा, डी (यू (एक्स)) \u003d यू "(एक्स ) dx \u003d dx a v (x) = - 3 cos 3 + 6 । 3 सूत्र a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u "(x) v (x) d x

- π 2 3 π 2 x पाप x 3 + 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - - 2 3 2 - 3 cos x 3 + 6 dx \u003d \u003d - 3 3 2 कॉस 2 + 6 - - 3 - π 2 कॉस - 6 + 6 + 9 पाप x 3 + 6 - 2 3 2 \u003d 9 4 - 3 π 2 + 9 पाप π 2 + 6 - पाप - 6 + 6 = 9 4 - 3 2 + 9 3 2 = 3 4 + 9 3 2

बट का समाधान एक अलग रैंक के साथ vikonati हो सकता है।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र से भागों द्वारा अतिरिक्त एकीकरण के साथ अवैयक्तिक प्राथमिक कार्यों x sin x 3 + 6 को जानने के लिए:

x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx du = dx, v = - 3 cos x 3 + 6 = = - 3 cos x 3 + 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + 6 + C - π 2 3 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - 6 + 6 + 9 पाप - 6 + 6 = = 9 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 4 + 9 3 2

सुझाव: x पाप x x 3 + π 6 d x = 3 4 + 9 3 2

आपको पाठ में क्षमा कैसे याद आया, दयालु बनें, इसे देखें और Ctrl + Enter दबाएं

Pokhіdnі उच्च आदेश

इस उम्र में, हम निचले क्रम को जानना सीखते हैं, और निचले क्रम के सामान्य सूत्र को भी लिखते हैं। इसके अलावा, लाइबनिज़ के सूत्र को एक समान और संख्यात्मक रूप से प्रोहन्या के रूप में देखा जाएगा - परिमाण के उच्च क्रम के समान परोक्ष रूप से परिभाषित कार्य. मैं एक मिनी-टेस्ट लेने का लुत्फ उठा रहा हूं:

अक्ष समारोह: मैं अक्ष persha pokhіdna:

उस मामले में, जैसा कि आपने कुछ कठिनाइयों / अनुचित कारणों के लिए दोषी ठहराया है, कृपया, मेरे पाठ्यक्रम के दो बुनियादी लेखों से शुरू करें: कैसे पता चलेगा कि मैं जा रहा हूँ?і तह समारोह. प्राथमिक pokhіdnyh में महारत हासिल करने के बाद, मेरा सुझाव है कि आप पाठ से सीखें अंतिम संस्कार के लिए सबसे सरल कार्य, जिस पर हम उठे, ज़ोकरेमा ज़ू एक और pokhіdny.

यह अनुमान लगाने से कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक दोस्त बुरा है - यह पहले बुरे की तरह बुरा है:

सिद्धांत रूप में, मैं अपने दोस्त को खो दूंगा, लेकिन सबसे अच्छे तरीके से vvazhayut।

इसी तरह: तीसरा बदतर है - वही दूसरे से भी बदतर है:

चौथा आखिरी वाला है, तीसरा आखिरी वाला है:

पायटा अच्छा है: , और यह स्पष्ट है कि उच्च आदेशों की सभी समानताएं शून्य के बराबर हो सकती हैं:

व्यवहार में क्रीमियन रोमन अंक में अक्सर निम्नलिखित पदनाम होते हैं:
, उसी "ऊर्जावान" क्रम का अर्थ है के माध्यम से। इसके साथ सुपरस्ट्रिंग इंडेक्स को हथकड़ी पर रखने की जरूरत है।- दुनिया के "गुरुत्वाकर्षण" की मौत को फिर से जीवित करने के लिए।

कभी-कभी ऐसा रिकॉर्ड होता है: - तीसरा, चौथा, पायटा, ..., "एन्ना" समान है।

बिना किसी डर और योग के आगे बढ़ें:

बट 1

एक समारोह दिया। जानना।

समाधान: आप यहाँ क्या कर सकते हैं ... - चौथे अच्छे के लिए आगे बढ़ें :)

चोतिरी पुट स्ट्रोक्स पहले से ही स्वीकृत नहीं हैं, तो चलिए संख्यात्मक इंडेक्स पर चलते हैं:

विदपोविद:

अच्छा है, लेकिन अब इस तरह के भोजन के बारे में सोचते हैं: काम क्यों करें, अगर दिमाग के लिए 4 नहीं जानना जरूरी है, लेकिन उदाहरण के लिए, 20 मैं चला जाऊंगा? यक्षो 3-4-5 मार्च के लिए (अधिकतम, 6-7वां)निर्णय का आदेश shvidko को समाप्त करने के लिए किया जाता है, फिर हम अगले उच्च क्रम में "प्राप्त" नहीं होंगे, ओह, याक, जल्द ही नहीं। सत्य को 20 पंक्तियों में मत लिखो! इसी तरह की स्थिति में, ज्ञात लोगों के नमूने का विश्लेषण करना, नियमितता निर्धारित करना और समान सूत्र का सूत्र तैयार करना आवश्यक है। इसलिए, एप्लाइड नंबर 1 में, यह समझना आसान है कि एक्सपोनेंट "विस्काकुवाटाइम" के सामने त्वचीय अग्रिम भेदभाव के मामले में अतिरिक्त "त्रिका" जोड़ा जाता है, इसके अलावा, "त्रिका" के सबसे छोटे चरण पर यह अधिक होता है बदतर की संख्या की तरह, भी:

De एक काफी प्राकृतिक संख्या है।

यक्षो, फिर बाहर जाओ बिल्कुल पहला बुरा: , यक्षो - फिर 2-अ: आदि। इस तरह के एक रैंक में, बीस pokhіdna vyznaєtsya mittevo: - और अगला "किलोमीटर खिंचाव"!

स्वतंत्र रूप से खेलना:

बट 2

कार्यों को जानें। सिस्टम लिखें

समाधान पाठ के उदाहरण का पालन करना है।

Badioro के वार्म-अप के बाद, हम और देखेंगे फोल्डिंग स्टॉक, कुछ व्यावहारिक तरीकों से, समाधान एल्गोरिथम हल किया जाता है। टिम, जिसने सबक सीखा है अनुक्रमों के बीच, एक ट्रोच आसान हो:

बट 3

कार्यों को जानें।

समाधान: स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, हम निम्नलिखित में से कुछ जानते हैं:

संख्याओं को गुणा करना जल्दी नहीं है! ;-)


मबुत, खत्म। ... नवित ट्रोही ओवरडोन।

स्टेपिंग क्रोट्स पर, सूत्र "enї" pokhіdnoї . जोड़ना सबसे अच्छा है (यदि आपको मन नहीं लगता है, तो आप थोड़ा काला करके प्राप्त कर सकते हैं). जिनके लिए हम परिणामों की अस्वीकृति पर आश्चर्य करते हैं, हम नियमितता देखते हैं, जिसके साथ त्वचा पर हमला किया जाता है।

सबसे पहले, बदबू शैतानों को जानती है। कतार चिन्ह सुरक्षित है "फ्लैशर", oskіlki 1 pokhіdna सकारात्मक है, तो मैं आक्रामक गुणक को देखने के लिए सूत्र का उपयोग करूंगा: . Pіdіyde i ekvivalentny वैरिएंट, लेकिन विशेष रूप से मुझे एक आशावादी प्यार प्लस साइन =)

एक अलग तरीके से, अंश "हवाओं" कारख़ाने का, इसके अलावा, एक ही इकाई की संख्या में vin "vіdstaє":

तीसरे तरीके से अंकगणित पर "दो" के चरण बढ़ रहे हैं, मानो संख्या समान हो। बैनरमैन के कदमों के बारे में भी यही कहा जा सकता है। अवशिष्ट:

पुन: सत्यापन की विधि से, हम "एन" के कुछ मूल्यों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, i:

चमत्कारिक ढंग से, अब क्षमा शुरू होगी - सिर्फ एक पाप:

विदपोविद:

एक स्वतंत्र दृष्टि के लिए एक सरल कार्य:

बट 4

कार्यों को जानें।

ज़वदन्न्या त्सिकावेशे:

बट 5

कार्यों को जानें।

आइए एक बार फिर से आदेश दोहराएं:

1) हम मृतकों के कुछ अंश जानते हैं। कानूनों को पकड़ने के लिए, त्रिक-चोटिरियोख बजाओ।

2) फिर मैं तह करने की सलाह देता हूं (मैं काले रंग का उपयोग करना चाहूंगा)"एन्नू" चला जाएगा - यह क्षमा के सामने तट पर होने की गारंटी है। एले को पूर्ववत किया जा सकता है और बिना, टोबो। अपने विचारों के बारे में सोचो और लिखो, उदाहरण के लिए, बीस या आठ मैं मर जाऊंगा। इससे भी अधिक, deakі लोग vzagalі zdatnі vіrіshiti tsі zavdannya usno। हालांकि, याद रखने वाली अगली बात यह है कि "श्विदकी" खतरे में पड़ सकता है, बल्कि सुरक्षित भी हो सकता है।

3) अंतिम चरण में, "एन" पोखिडनॉय को फिर से सत्यापित करना आवश्यक है - हम कुछ "एन" मान (अदालतों के लिए जल्द ही) लेते हैं और प्रतिस्थापन की पुष्टि करते हैं। और इससे भी अधिक उम्मीद है - पहले जो ज्ञात था उस पर पुनर्विचार करें। यदि अर्थ की आवश्यकता में कुछ प्रस्तुत किया जाता है, उदाहरण के लिए, या परिणाम की सटीक गणना की जाती है।

एक पाठ के लिए संक्षिप्त समाधान 4 और 5 उदाहरण।

कुछ कार्यों में, समस्याओं को हल करने के लिए, फ़ंक्शन पर थोड़ा सुधार करना आवश्यक है:

बट 6

समाधान: मैं प्रस्तावित कार्य में अंतर नहीं करना चाहता, मैं नहीं चाहता, "गंदी" ड्रिब की धारें, जो आगामी पोखेडनिह की फटकार को बहुत बढ़ा देती हैं।

ट्रांसफॉर्मेशन के सामने किसके लिए लिंक डॉटसिलो विकोनाटी है: विकोरिस्ट्यूमो वर्ग अंतर सूत्रі लघुगणक की शक्ति :

Zovsіm इंशा दाईं ओर:

मैं पुराने दोस्त:

मुझे लगता है कि सब कुछ दिख रहा है। सम्मान दो, कि एक और बुरा संकेत खींचा गया है, और पहला - नहीं। हम एक समान प्रणाली का निर्माण करते हैं:

नियंत्रण:

खैर, सुंदरता के लिए, बाहों के लिए भाज्य:

विदपोविद:

स्वतंत्र vyrіshennya के लिए Tsіkave zavdannya:

बट 7

फ़ंक्शन के लिए उसी क्रम में एक सूत्र लिखें

और अब अविनाशी पारस्परिक गारंटी के बारे में, जो इतालवी माफिया को बधाई देना है:

बट 8

एक समारोह दिया। जानना

बिंदु पर Vіsіmnadtsyata pokhіdna। उसोगो।

समाधान: बैक टू बैक, जाहिर है, यह जानना जरूरी है आइए चलते हैं:

वे साइनस से ठीक हो गए, वे साइनस में आ गए। यह स्पष्ट था कि थोड़े से अंतर के साथ, चक्र अटूट बना रहेगा, और यह पोषण की शुरुआत की ओर ले जाएगा: अठारहवीं शताब्दी तक "दूरी" करना बेहतर कैसे है?

"शौकिया" विधि: हम दाहिने हाथ को पाद लेख और आने वाले लोगों की संख्या पर लिखते हैं:

इस तरह से:

अले त्से pratsyuє, मानो पोखदनोई का आदेश इतना महान नहीं है। खैर, मुझे यह जानने की जरूरत है, मान लीजिए, मैं सेल छोड़ दूंगा, मैं पॉडिलनिस्त्यु को 4 से तेज कर दूंगा। बिना अधिकता के छोटिरी में विभाजित करने के लिए एक सौ, और बचीती करना आसान है, क्योंकि इस तरह की संख्या नीचे की पंक्ति में लुढ़की हुई है:।

भाषण से पहले, 18 pokhіdnu tezh को समान मिरकुवन से अलग किया जा सकता है:
दूसरी पंक्ति में संख्याएँ होती हैं, जिन्हें अधिशेष 2 में से 4 से विभाजित किया जाता है।

स्थापना का दूसरा, अधिक शैक्षणिक तरीका साइनस के लिए आवधिकताі कमी सूत्र. कोरिस्टुयेमोसिया तैयार सूत्र "एनोई" साइन के समान है , याक में, आवश्यक संख्या बस प्रदर्शित होती है। उदाहरण के लिए:
(कमी सूत्र ) ;
(कमी सूत्र )

हमारे दृष्टिकोण के लिए:

(1) चूंकि साइन एक अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है, तो तर्क को सुरक्षित रूप से चौथी अवधि (टोबो) में "बदला" जा सकता है।

Pokhіdnu प्रणाली vіd vykonannya dvoh funktsіy को सूत्र के लिए जाना जा सकता है:

ज़ोक्रेमा:

आपको विशेष रूप से कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जितना अधिक आप सूत्रों को जानते हैं, उतना ही कम आप समझते हैं। कहानी के बारे में और जानें न्यूटन का द्विपद oskіlki Leibniz का सूत्र अधिक से अधिक नए के समान है। खैर, आप भाग्यशाली हैं, 7 वें या उच्च क्रम से कैसे दूर हो जाएं (जो, हालांकि, छोटा है), आप शर्मिंदा होंगे tse robiti Vtim, अगर ब्लैक ने किया साहचर्य- यह सब लाने के लिए समान है =)

हम तीसरे समान कार्य को जानते हैं। विकोरिस्टोवुमो लिबनिट्ज़ का सूत्र:

इस दृश्य में: . Pokhіdnі आसानी से मौखिक रूप से अनुवादित:

अब ध्यान से और सम्मानपूर्वक प्रतिस्थापन और सरल परिणाम:

विदपोविद:

एक स्वतंत्र दृष्टि के लिए एक समान कार्य:

बट 11

कार्यों को जानें

यदि सामने के बट में "माथे पर" समाधान अभी भी लीबनिज़ सूत्र के साथ प्रतिस्पर्धा करता है, तो यहां यह अस्वीकार्य होगा। और अधिक अस्वीकार्य - एक अलग क्रम में, यह बदतर है:

बट 12

सटीक क्रम जानिए

समाधान: सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण सम्मान - इस तरह धुरी को मोड़ो, अकेले, जरूरी नहीं =) =)

आइए कार्यों को लिखें और 5वें क्रम तक उनकी समानताएं जानें। मैं मानता हूँ कि दाहिनी ओर के कदम आपके लिए नींद बन गए हैं:

"लाइव" के बाएं कॉलम में, बुरी चीजें "समाप्त हो गईं" और यह और भी बेहतर है - लीबनिज़ फॉर्मूला में, तीन जोड़ शून्य पर रीसेट हो जाते हैं:

मैं उन दुविधाओं से जूझ रहा हूं जिनके बारे में मैंने लेख में सोचा था तह पोखदनीहो: ची परिणाम पूछो? सिद्धांत रूप में, आप इसे छोड़ सकते हैं और इसलिए - इसे उलटना आसान है। अले विन समाधान को सद्भाव में लाने में मदद कर सकता है। दूसरी ओर, पहल की शक्ति से क्षमा, मैं क्षमा के साथ बीजगणित की धमकी देता हूं। हालाँकि, हमारे पास vіdpovіd, otrimana "प्राथमिक" तरीका =) (डिव। कोब को भेजा गया), और मैं सहमत हूं, विन सही है:

अच्छा, सब ठीक है।

विदपोविद:

स्वतंत्र दृष्टि के लिए शुभ कार्य:

बट 13

समारोह के लिए:
ए) प्रत्यक्ष भेदभाव को दर्शाता है;
बी) लाइबनिज फॉर्मूला के पीछे जानें;
ग) गणना।

नमस्ते, मैं एक साधु नहीं हूँ - बिंदु "ए" यहाँ क्षमा किया गया है।

और इससे भी अधिक गंभीरता से, अंतिम विभेदों के "प्रत्यक्ष" समाधान में "जीवन का अधिकार" भी हो सकता है - कई मायनों में, तह लाइबनिज़ सूत्र के तह के बराबर हो सकता है। Vykoristovyte, जैसे कि आप डॉट्स के लिए सम्मान करते हैं - यह संभावना नहीं है कि आप एक छोटे से कार्य का आधार होंगे।

संक्षेप में, समाधान पाठ को स्पष्ट करना है।

अंतिम पैराग्राफ को ऊपर उठाने के लिए याद रखना आवश्यक है निहित कार्यों को अलग करें:

कार्यों के उच्च क्रम में परिवर्तन, परोक्ष रूप से कार्य

हममें से कोई अमीर व्यक्ति विट्रेटिव dovgі साल, दिन और tizhnі जीवन vvchennya पर केली, परवलय, अतिशयोक्ति- और कभी-कभी इसे सजा दी जाती थी। तो चलिए बदला लेते हैं और उन्हें एक निशान की तरह अलग करते हैं!

Pochnemo zі "shkіlnoї" उसके लिए परबोला विहित शिविर:

बट 14

रिवन्या दिया गया है। जानना।

समाधान: पहला क्रोक अच्छा ज्ञान:

जो कार्य करते हैं कि अभिव्यक्ति के समान है, सार को नहीं बदलते हैं, दूसरा बदतर है - वही 1 बदतर के समान है:

अपने स्वयं के नियम स्थापित करें: परिमाण के दूसरे और उच्च क्रम को अपनाया जाता है केवल "iks" और "iplayer" के माध्यम से. उसके लिए otriman 2 में आइए कल्पना करें:

तीसरा पोखेडना - є पोखेडना vіd 2-ї pokhіdnoї:

इसी तरह, कल्पना कीजिए:

विदपोविद:

"शकिलना" हाइपरबोले इन विहित शिविर- स्वतंत्र कार्य के लिए:

बट 15

रिवन्या दिया गया है। जानना।

मैं दोहराता हूं, scho 2-y pokhіdnu और अगले vyslovit का परिणाम केवल "iks" / "gravets" के माध्यम से!

संक्षेप में, समाधान पाठ को स्पष्ट करना है।

बचकानी कुंडलियों के बाद, जर्मन पोर्नोग्राफ़ी @ fiyu पर आश्चर्य करते हुए, हम और अधिक परिपक्व चूतड़ देखते हैं, जिससे हम एक और महत्वपूर्ण निर्णय जानते हैं:

बट 16

एलिप्सदबंग व्यक्ति।

समाधान: हम पहले पोखदनु को जानते हैं:

और अब आइए आने वाले क्षण को याद करें और उसका विश्लेषण करें: एक बार में हम अंतर कर सकते हैं, इसलिए हमें चुप रहने की जरूरत नहीं है। इस मनःस्थिति में, यह अत्यंत सरल है, लेकिन वास्तव में, ऐसे उपहारों के आदेश दो बार और एक बार सत्ता में दिए जाते हैं। भारी पोखिडनॉय से छुटकारा पाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? сnuє! हम समान चाल के साथ समान और विजयी होते हैं, यहां तक ​​​​कि 1-सेंट इष्ट वाले लोगों के साथ, आपत्तिजनक भागों पर स्ट्रोक को "लटका" देते हैं:

एक और pokhіdna दोषी है, लेकिन केवल इसके माध्यम से और उसी समय व्यक्त किया गया है (तुरंत)पोखिदनोय किसके लिए otriman बराबर बोधगम्य है:

सबसे अधिक तकनीकी कठिनाइयों से छुटकारा पाने के लिए, आपत्तिजनक भागों को इससे गुणा करें:

अंतिम चरण में कम, हम ड्रॉ करते हैं:

अब हम vihіdne rіvnyannya पर आश्चर्य करते हैं, और हम ध्यान दें कि यदि परिणाम निकाल लिया जाता है, तो इसे क्षमा किया जाना चाहिए:

विदपोविद:

किसी भी बिंदु पर 2 पोखेडनोї का अर्थ कैसे पता करें (याका, zrozumіlo, elіpsu पर लेट जाओ), उदाहरण के लिए, बिंदु पर ? बहुत आसान! Tsej मकसद पहले से ही के बारे में पाठ पर zustrіchavsya समान मानदंड: virase 2 में, प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है :

पागलपन की हद तक, तीनों तरीकों से आप स्पष्ट रूप से दिए गए कार्यों को हटा सकते हैं और उन्हें अलग कर सकते हैं, लेकिन फिर जड़ों से बदला लेने के लिए दो कार्यों के साथ अभ्यास करने के लिए नैतिक रूप से ट्यून भी कर सकते हैं। मेरी राय में, "अंतर्निहित पथ" से निर्णय लेना बेहतर होगा।

एक स्वतंत्र दृष्टि के लिए अंतिम उदाहरण:

बट 17

निहित रूप से परिभाषित कार्यों को जानें

कार्य का पाठ सूत्रों की छवि के बिना रखा गया है।
रोबोट का एक नया संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "रोबोट की फाइलें" टैब में उपलब्ध है

"तेज़ मुझे, न्यूटन का द्विपद!»

उपन्यास "द मास्टर एंड मार्गरीटा" से

"पास्कल का त्रिकटनिक इतना सरल है कि आप एक दशमलव बच्चा लिख ​​सकते हैं। उसी समय, आपको अपने स्वयं के नेविचरपने खजाने में छिपना होगा और गणित के अधिक विभिन्न पहलुओं को खरीदना होगा, जैसे कि पहली नज़र में आपके पास सोने के लिए कुछ भी नहीं हो सकता है। फर्श अविभाजित शक्तिसभी गणित में सबसे सूक्ष्म योजनाओं में से एक के साथ पास्कल के त्रिकुटनिक का उपयोग करने की अनुमति दें "

मार्टिन गार्डनर।

मेटा रोबोट:तेजी से गुणा के zagalnite सूत्र, उन्हें समस्याओं को हल करने के लिए zastosuvannya दिखाते हैं।

प्रबंधक:

1) किसी दिए गए भोजन से जानकारी सीखना और व्यवस्थित करना;

2) चरणों के योग और अंतर के लिए न्यूटन के द्विपद और सूत्रों को हल करने का कार्य हल करें।

पालन ​​​​करने के लिए वस्तुएं:न्यूटन के द्विपद, योग और अंतर सूत्र।

अनुवर्ती तरीके:

प्राथमिक और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य, इंटरनेट संसाधनों के साथ काम करें।

रोज़राखुनकी, पोव्न्यान्या, विश्लेषण, सादृश्य।

प्रासंगिकता।लोगों को अक्सर कार्यों से उनकी मां के अधिकार में लाया जाता है, जिसमें कुछ वस्तुओं को फैलाने के सभी संभावित तरीकों की संख्या में सुधार करना आवश्यक है, या गीत बनाने के सभी संभावित तरीकों की संख्या में सुधार करना आवश्यक है। ची विकल्पों के विभिन्न तरीके, जो लोगों को चुनने के लिए लाए जाते हैं, सबसे बहुमुखी संयोजनों में जोड़े जाते हैं। tsiliy विभाजित गणित, संयोजन के शीर्षक, विभिन्न पोषण की खोज द्वारा कब्जा कर लिया: सभी के उदाहरण और उस ची इनशोय प्रकार के संयोजन।

संयुक्त मूल्यों के साथ, विभिन्न विशिष्टताओं के प्रतिनिधियों को दाईं ओर दाईं ओर लाया जाता है: एक वैज्ञानिक-रसायनज्ञ, एक जीवविज्ञानी, एक डिजाइनर, एक डिस्पैचर भी। कॉम्बिनेटरिक्स में मजबूत रुचि आराम का समयसाइबरनेटिक्स और कम्प्यूटेशनल प्रौद्योगिकी के उग्र विकास से प्रभावित हों।

प्रवेश

यदि आप सुदृढ़ करना चाहते हैं, कि वक्ता ने कुछ दोषों के साथ दिन की जटिलता को पार कर लिया है, तो ऐसा लगता है: मैं न्यूटन का प्रतिबंध हूँ! Movlyav, न्यूटन की धुरी, यह मुड़ने योग्य है, लेकिन आप में समस्याएं हैं! न्यूटन के द्विपद चुली नेविट के बारे में वे लोग जिनकी रुचियां गणित से संबंधित नहीं हैं।

"बिनोम" शब्द का अर्थ बाइनरी, टोबो है। दो दान का योग। स्कूल पाठ्यक्रम के लिए, तीव्र गुणक के सूत्र निम्नलिखित हैं:

( लेकिन+ ख) 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 , (ए+बी) 3 = ए 3 +3ए 2 बी+3एबी 2 +बी 3 .

निम्नलिखित सूत्र सूत्र हैं, क्योंकि इसे न्यूटन का द्विपद सूत्र कहते हैं। विद्यालयों में भिन्न-भिन्न वर्गों, योग और भिन्न-भिन्न घनों के गुणजों में फैलाने के वे सूत्र विजयी होते हैं। अगले चरणों के लिए बदबू की बदबू क्या है? तो, ऐसे फ़ार्मुलों में, विभिन्न कार्यों को पोषित करने में अक्सर बदबू विजयी होती है: नकली साबित करने के लिए, अंशों की गति, गणना की निकटता।

तार्किक सूत्रों के विकास से निगमनात्मक-गणितीय विचार और गहरी बयानबाजी का विकास होता है।

भाग 1. न्यूटन का बिनोम सूत्र

Pojdnannya कि शक्ति

मान लीजिए X एक गुणक है जो n तत्वों से बना है। यह Y का एक उपगुणक हो, X का गुणक, k तत्वों का बदला लेने के लिए, n से समान k तत्वों द्वारा कहा जाता है, इसके साथ, k n।

विभिन्न मदों की संख्या k तत्वों s n को 3 n k सौंपा गया है। कॉम्बिनेटरिक्स के सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों में से एक संख्या n k के लिए अगला सूत्र है:

इस क्रम में जल्द ही स्पष्ट के बाद लिखा जा सकता है:

ज़ोक्रेमा,

इसके लिए यह पूरी तरह से आवश्यक है, कि X की बहुलता में 0 तत्वों का केवल एक सबमल्टीपल हो - एक खाली सबमल्टीपल।

संख्या C n k चमत्कारी शक्तियों की एक श्रृंखला बनाती है।

सूत्र n k \u003d З n - k n मान्य है, (3)

सूत्र (3) की भावना इस तथ्य पर आधारित है कि यह एक्स के सभी के-टर्म उपगुणकों की अनुपस्थिति और एक्स के सभी (एन - के)-सदस्यीय उपगुणकों की अनुपस्थिति के बीच एक-से-एक स्थिरता है: से त्वचा के लिए पर्याप्त ताकत स्थापित करें Y का k- टर्म सबमल्टीपल गुणक X में एक जोड़ डालें।

सूत्र मान्य है 0 n + З 1 n + 2 n + ... + n n = 2 n (4)

योग, जो बाईं ओर खड़ा है, X के सभी उपगुणकों की संख्या को दर्शाता है (C0n 0-अवधि के उपगुणकों की संख्या है, C1n एक-अवधि के उपगुणकों की संख्या है, आदि)।

जो कुछ भी k, 1≤ k≤ n , समानता उचित है

सी के एन \u003d सी एन -1 के + सी एन -1 के -1 (5)

अतिरिक्त सूत्र (1) के लिए किउ ईर्ष्या को दूर करना आसान है। सत्य,

1.2. न्यूटन के द्विपद सूत्र के विस्नोवोक

आइए द्विपद के स्तर को देखें ए +बी .

एन = 0, (ए +बी ) 0 = 1

एन = 1, (ए +बी ) 1 = 1ए+1बी

एन = 2(ए +बी ) 2 = 1a 2 + 2aबी +1 बी 2

एन = 3(ए +बी ) 3 = 1 ए 3 + 3a 2 बी + 3aबी 2 +1 बी 3

एन = 4(ए +बी ) 4 = 1a 4 + 4a 3 बी + 6a 2 बी 2 +4एबी 3 +1 बी 4

एन = 5(ए +बी ) 5 = 1 क 5 + 5a 4 बी + 10a 3 बी 2 + 10a 2 बी 3 + 5aबी 4 + 1 बी 5

हम निम्नलिखित कानूनों का सम्मान करते हैं:

द्विपद की डिग्री के संकेत के लिए आधिपत्य वाले अमीर सदस्य के सदस्यों की संख्या एक और है;

पहले पूरक के चरण का संकेतक n से 0 में बदल जाता है, दूसरे पूरक के चरण का संकेतक 0 से n तक बढ़ जाता है;

सभी एकपद के चरण मन के लिए द्विपद के चरणों के बराबर हैं;

कोज़ेन मोनोमियल - विभिन्न चरणों में पहली और दूसरी अभिव्यक्ति का निर्माण और अंतिम संख्या - द्विपद गुणांक;

द्विपद गुणांक, rіvnovіddalеnі vіd kіntsa rozkladannya, ivnі।

इन सूत्रों को स्पष्ट करने के लिए ऐसे सूत्र को न्यूटन का द्विपद सूत्र कहते हैं:

(ए + बी ) एन = सी 0 एन ए एन बी 0 + सी 1 एन ए एन -1 बी + सी 2 एन ए एन -2 बी 2 + ... + सी एन -1 एन अब एन -1 + सी एन एन ए 0 बी एन . (6)

इस सूत्र के लिए एनएक प्राकृतिक संख्या हो सकती है।

आइए हम सूत्र (6) प्राप्त करें। Nasampered, आइए लिखते हैं:

(ए + बी ) एन = (ए + बी )(ए + बी ) ... (ए + बी ), (7)

गुणा करने वाले मेहराबों की संख्या, dorivnyuє एन. योग को योग से गुणा करने के असाधारण नियम से, यह स्पष्ट है कि योग (7) सभी महान कृतियों के योग के योग्य है, क्योंकि इसे इस तरह के रैंक में एक साथ रखा जा सकता है: पहले से एक जोड़ की तरह हो योग ए + बीकिसी भी डोडानोक से गुणा करें एक और सुमी ए+बीतीसरी राशि वगैरह के कुछ अतिरिक्त पैसे के लिए।

जो कहा गया है उससे यह स्पष्ट है कि डोडनकॉम के लिए (ए + बी ) एन(एक-से-एक) शीर्ष n की पंक्तियाँ दें, अक्षर से मुड़ी हुई और वह बी. dodankіv zustrіchatimutsya समान सदस्यों के बीच में; जाहिर सी बात है कि ऐसे सदस्यों को पंक्तियाँ दी जाती हैं, कि उन्हें उतने ही अक्षरों का बदला लेना चाहिए लेकिन. अले, पंक्तियों की संख्या, जो अक्षर के k गुणा के बराबर होनी चाहिए लेकिन, तो स्वयं З n k । ओत्ज़े, सभी सदस्यों का योग, अक्षर a को k के बराबर गुणक से बदलने के लिए, dorіvnyuє C n k ए एन - क बी क . शार्प k मान 0, 1, 2,…, n-1, n ले सकता है, फिर सूत्र (6) हमारा अनुसरण करता है। सम्मानपूर्वक, (6) को छोटा लिखा जा सकता है: (8)

न्यूटन के बाद सूत्र (6) को कॉल करना चाहते थे, यह न्यूटन से पहले भी जाना जाता था (उदाहरण के लिए, पास्कल को जानना)। न्यूटन की योग्यता इस तथ्य में निहित है कि वह विभिन्न संकेतों के लिए सटीक सूत्रों को जानता है। वही I. 1664-1665 में न्यूटन। vivіv सूत्र, scho vrazhaє stupіn द्विपद के लिए dovіlny बन्दूक और नकारात्मक pokaznіv।

संख्या 0 n , C 1 n , ..., C n n , जो सूत्र (6) में शामिल हैं, आमतौर पर द्विपद गुणांक कहलाते हैं, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

सूत्र (6) से कोई इन गुणांकों की कम शक्ति ले सकता है। उदाहरण के लिए, सम्मानपूर्वक लेकिन= 1, बी = 1, हम लेते हैं:

2 एन = सी 0 एन + सी 1 एन + सी 2 एन + सी 3 एन + ... + सी एन एन,

टोबो सूत्र (4)। यक्ष्चो लगाएं लेकिन= 1, बी = -1, फिर गणित:

0 = जेड 0 एन - सी 1 एन + सी 2 एन - सी 3 एन + ... + (-1) एन सी एन एन

या सी 0 एन + सी 2 एन + सी 4 एन + ... = सी 1 एन + सी 3 एन + + सी 5 एन + ...।

Tse का अर्थ है कि लेआउट के युग्मित सदस्यों के गुणांकों का योग लेआउट के अयुग्मित सदस्यों के गुणांकों के योग से अधिक है; त्वचा की देखभाल 2 एन -1।

सदस्यों के गुणांक, वितरण की शर्तों की दूरी में, बराबर। बिजली की कीमत vyplyvaє isz spіvvіdnoshennia है: n k = n n - k

त्सकाविय ओकेरेमी विपादोक

(एक्स + 1) एन = सी 0 एन एक्स एन + सी 1 एन एक्स एन -1 + ... + सी के एन एक्स एन - के + ... + सी एन एन एक्स 0

या छोटा (x +1) n = C n k x n - k ।

1.3. बहुपद प्रमेय

प्रमेय।

प्रमाण।

इसलिए विशोव मोनोमियल के आर्च को खोलने के बाद, उन मेहराबों को चुनना आवश्यक है, जिनसे लेना है, ये मेहराब, जिसमें से लेना है, आदि। और वे धनुष, जिससे वे लिए गए हैं। वह गुणांक जिसके लिए एकपदी दी जाती है, जिसके लिए ऐसे विकल्पों की संख्या के समान पद दिए जा सकते हैं। विकल्पों के अनुक्रम का पहला क्रोकेट साधनों द्वारा किया जा सकता है, दूसरा क्रोकेट - , तीसरा क्रोकेट - आदि, वें क्रोकेट - सॉलिसिटर द्वारा। रचनात्मक कार्य के लिए शुकनी गुणांक

ROZDIL 2. अगला बेहतरीन ऑर्डर।

Pokhіdnih Vishchih सिस्टम को समझना।

गायन अंतराल पर समारोह को अलग होने दें। Todi pokhіdna, vzagalі प्रतीत हो रहा है, झूठ बोल रहा है एक्स, यह का कार्य है एक्स. ओत्ज़े, बिल्कुल नहीं, आप अच्छे के आधार पर भोजन डाल सकते हैं।

नियुक्ति . Pokhіdna को पहले pokhіdnoї के रूप में कहा जाता है किसी अन्य आदेश के समान या किसी अन्य समान को प्रतीक द्वारा इंगित किया जाता है अन्यथा, tobto

नियुक्ति . Pokhіdna एक और pokhіdnoї की तरह तीसरे क्रम के pokhіdnoy कहा जाता है, लेकिन तीसरा pokhіdnoy प्रतीक abo द्वारा दर्शाया गया है।

नियुक्ति . पोखिदनीएन वें क्रमकार्यों vid pokhіdnoї में persha pokhіdna कहा जाता है (एन -1)-वें क्रम, कार्यों मैं प्रतीक abo द्वारा निरूपित कर रहे हैं:

नियुक्ति . Pokhіdnі आदेश पहले की तुलना में अधिक कहा जाता है सबसे खराब ढूँढना।

आदर करना. इसी तरह, आप सूत्र ले सकते हैं एनवें मजेदार समारोह:

एक अन्य समान पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन

यदि फ़ंक्शन को बराबर द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है, तो एक अलग क्रम के समान एक के महत्व को एक स्वतंत्र चर के तह फ़ंक्शन के रूप में सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण रूप से विभेदित किया जाना चाहिए।

तो याक तो

दैट s urahuvannyam कि, स्को,

आइए इसे दूर ले जाएं।

इसी तरह, आप तीसरा तरीका जान सकते हैं।

डिफरेंशियल सूमी, उस प्राइवेट को बनाएं।

चूंकि अंतर समान गुणन से एक स्वतंत्र चर के अंतर तक आता है, इसलिए, मुख्य प्राथमिक कार्यों की समानताएं, साथ ही बाद के अवलोकन के नियमों को जानने के बाद, अंतरों की जांच के लिए समान नियम विकसित किए जा सकते हैं।

1 0 . अंतर स्थिरांक से शून्य.

2 0 . कार्यों की व्युत्पत्तियों की एक सीमित संख्या के बीजगणित का अंतर योग .

3 0 . दो कार्यों के निर्माण के लिए अंतर, जो विभेदित हैं, पहले फ़ंक्शन के दूसरे के अंतर और दूसरे फ़ंक्शन के पहले के अंतर के लिए अधिक रचनात्मक योग .

परिणाम. अंतर के संकेत के लिए निरंतर गुणक को दोषी ठहराया जा सकता है।

2.3. कार्य, कार्य पैरामीट्रिक रूप से, нє भेदभाव।

नियुक्ति . अपमानजनक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप से दिया गया कहा जाता है एक्स і त्वचा के कार्यों को एक ही और अतिरिक्त परिवर्तन के रूप में स्पष्ट कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है - पैरामीटरटी :

डेटी सीमाओं पर परिवर्तन।

आदर करना . आइए हिस्सेदारी और दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक संरेखण को निर्देशित करें।

a) निर्देशांक और त्रिज्या के कोब पर केंद्र वाला एक स्तंभ आरमाє पैरामीट्रिक संरेखण:

बी) आइए इलिप्स के लिए पैरामीट्रिक संरेखण लिखें:

विकल्प बंद करें टीरेखाओं के विश्लेषण की पैरामीट्रिक रेखाओं से आप उनकी विहित रेखाएँ विकसित कर सकते हैं।

प्रमेय . फंक्शन क्या है वाई प्रकार तर्क x को पैरामीट्रिक रूप से बराबर द्वारा दिया जाता है, de i भेदभाव द्वाराटी कार्य टा, फिर।

2.4. लाइबनिज़ सूत्र

znakhodzhennya . के लिए एन- दो कार्यों के बीच अंतर का क्रम, सबसे व्यावहारिक मूल्य लीबनिज़ सूत्र है

पर आना तुमі वी- परिवर्तन के रूप में सक्रिय कार्य एक्स, क्या बुरा हो सकता है, किसी क्रम में हो आप = यूवी. विस्लोविमो एन- खो कार्यों के माध्यम से नुकसान तुमі वी .

शायद क्रमिक रूप से

न्यूटन के द्विपद के अन्य और तीसरे और समान लेआउट के लिए वाइरस के बीच समानता को नोट करना आसान है, यह अन्य और तीसरे चरणों के समान है, लेकिन चरणों को दिखाने के बजाय, ऐसी संख्याएं हैं जो रिवर्स के क्रम को इंगित करती हैं, और कार्यों को स्वयं "शून्य-क्रम शून्य" माना जा सकता है। Vrakhovuychi tse, हम लाइबनिज़ सूत्र लेते हैं:

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किउ सूत्र को पूरा किया जा सकता है।

भाग 3. LIIBNITS फॉर्मूला का विवरण।

समान गणना की गणना के लिए, चाहे किसी भी क्रम में, दो कार्यों के आधार पर, बाद में छोड़ना, दूसरी ओर, दो कार्यों के उल्लंघन के आधार पर, गणना सूत्र हैं लाइबनिज़ सूत्र.

अतिरिक्त सूत्रों के लिए, आइए निम्नलिखित दो कार्यों के n-वें क्रम की गणना को देखें।

उदाहरण 1।

दूसरे फ़ंक्शन का क्रम जानें

नियुक्ति तक Vіdpovіdno, दोस्त अच्छा है - पहला वाला पहले के लिए अच्छा है, इसलिए

हम दिए गए फ़ंक्शन के समान पहले क्रम को जानते हैं भेदभाव के नियमऔर vicorist अंतिम तालिका:

अब हम pokhіdnu vіd pokhіdnoї पहले आदेश को जानते हैं। त्से एक अलग क्रम में शुकना होगा:

सुझाव:

बट 2.

कार्यों के अगले क्रम को जानें

समाधान।

हम नियमितता स्थापित करने के लिए दिए गए फ़ंक्शन के अगले, दूसरे, तीसरे और इसी तरह के क्रम को क्रमिक रूप से जानेंगे, ताकि आप अगले को बता सकें।

आइए पहले ऑर्डर करें, हम जानते हैं कि कैसे निजी जाओ:

यहाँ विराज को किसी संख्या का भाज्य कहा जाता है। कारख़ाने का

एक अलग क्रम का पोखदना, पहला वाला, पहला वाला, पहला वाला, वह

पोखेडना तीसरा क्रम:

चौथा अच्छा है:

हम नियमितता का सम्मान करते हैं: अंश में संख्या का एक भाज्य होता है, जो बदतर के क्रम की तरह अधिक होता है, और znamennik में चरण एक और कदम होता है, कम क्रम बेहतर होता है, इसलिए

विदपोविद।

उदाहरण 3.

एक बिंदु पर तीसरे समान फलन का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

ज़िदनो समान उच्च क्रम की तालिकाएँ, शायद:

बट पर, जो दिखता है, लिया जाता है

सम्मानपूर्वक, इस तरह के परिणाम को ध्यान में रखा जा सकता है, भले ही लगातार परिणाम समान हों।

कार्य पर, तीसरा बिंदु अधिक महंगा है:

सुझाव:

उदाहरण 4.

किसी मित्र की पसंदीदा विशेषताओं को जानें

समाधान।सिल के लिए हम pershu pokhіdnu को जानते हैं:

इसी तरह के एक अन्य मामले को जानने के उद्देश्य से, यह पहले समान एक बार के लिए virase को अलग कर रहा है:

सुझाव:

उदाहरण 5.

जानो, यक्षो

यदि एक फ़ंक्शन को दो फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के रूप में दिया जाता है, तो एक समान चौथे क्रम के फ़ंक्शन का मान लीबनिज़ सूत्र में जुड़ जाएगा:

हम सभी अच्छी चीजों को जानते हैं और हम जोड़ के साथ गुणांक से डरते हैं।

1) पोराहुमो कोएफ़ेत्सिएंटी डोडनकी के साथ:

2) हम समान कार्यों को जानते हैं:

3) हम समान कार्यों को जानते हैं:

सुझाव:

उदाहरण 6.

फलन y=x 2 cos3x दिया गया है। जानिए तीसरे क्रम की चाल।

चलो u=cos3x, v=x 2 . लीबनिट्ज सूत्र के लिए भी हम जानते हैं:

Pokhіdnі जिस पर आप देख सकते हैं:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

ओत्ज़े, तीसरा पोखेडना दिया गया फ़ंक्शन अधिक महंगा है

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x।

उदाहरण 7.

जानिए पोखिदनुएन -वें क्रम के कार्यवाई = एक्स 2 कॉस।

लाइबनिट्ज़ फॉर्मूला के साथ तेजी, विचारयू=कॉसएक्स, वी = एक्स 2 . टोडी

शृंखला के अन्य सदस्य शून्य के बराबर, शार्प(x2)(i)=0 i>2 के लिए।

पोखिदना नो -वें क्रम कोसाइन फ़ंक्शन:

Otzhe, pokhіdna हमारे कार्य अच्छे हैं

विस्नोवोक

स्कूल में, लघु गुणन के निम्नलिखित सूत्र मुड़ और विजयी होते हैं: वर्ग और योग और दो योगों का योग, और दो योगों का योग और दो योगों का योग। निम्नलिखित सूत्र सूत्र हैं, जिन्हें न्यूटन का द्विपद सूत्र कहा जाता है, और योग और चरणों के अंतर के गुणकों में विस्तार करने का सूत्र। कई सूत्र अक्सर virishennі rіznih zavdan पर विजयी होते हैं: नकलीपन, तेज अंश, गणना की मंहगाई साबित करने के लिए। पास्कल की चाल-या-उपचारकर्ता की शक्ति को न्यूटन के द्विपद के साथ निकटता से देखा जाता है।

रोबोट ने विषय पर जानकारी को व्यवस्थित किया है, न्यूटन के द्विपद और योग और चरणों के अंतर के सूत्रों को स्थापित करने का कार्य लागू किया है। रोबोट गणितीय समूह में एक रोबोट विकोरिस्तान हो सकता है, साथ ही समय की एक स्वतंत्र पार्टी के लिए, जो गणित में डब करता है।

DZHEREL जीत की सूची

1. विलेनकिन एन। हां। कॉम्बिनेटरिक्स।- देखें। "विज्ञान"। - एम।, 1969

2. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव एम.के., रेशेतनिकोव एन.एम., शेवकिन ए.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण का सिल। ग्रेड 10: नवच। Zagalnosvіt के लिए। नदियों के मूल और दफन का संगठन - एम .: प्रोस्विट्निस्टवो, 2014। - 431 पी।

3. सांख्यिकी, संयोजक और इमोविर्नोस्टी के सिद्धांत की समस्या का समाधान। 7-9 सेल / लेखक - स्टाइलर वी.एम. स्टडनेत्स्का। - राय। 2, रेव. - वोल्गोग्राड: वचिटेल, 2009

4. सवुशकिना आई.ए., खुगेव के.डी., टिश्किन एस.बी. बीजीय संरेखण उच्च कदम/ अंतर-विश्वविद्यालय प्रशिक्षण विभाग के छात्रों को सुनने के लिए एक पद्धतिगत मार्गदर्शिका। - सेंट पीटर्सबर्ग, 2001।

5. शारिगिन आई.एफ. गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम: समस्या समाधान। 10 कोशिकाओं के लिए शीर्षक सहायता। माध्यमिक पाठशाला। - एम: प्रोस्विट्निस्टवो, 1989।

6.विज्ञान और जीवन, न्यूटन का द्विपद और पास्कल का तिकोना[इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। - एक्सेस मोड: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

लाइबनिज सूत्र n-th . की संख्यादो कार्यों का समान अभ्यास। नादानो दो तरह से प्रमाण। n-वें क्रम की गणना के बट को देखा।

ज़मिस्ट

विभाग भी: Pokhіdna रोबोट दो कार्य

लाइबनिज़ सूत्र

लाइबनिज़ सूत्र की सहायता से, आप दो कार्यों में n-वें क्रम हानि की गणना कर सकते हैं। वॉन इस तरह दिख सकता है:
(1) ,
डे
- द्विपद गुणांक।

चरणों के लिए द्विपद के वितरण के गुणांक के साथ द्विपद गुणांक i:
.
तो संख्या उसी दिन s n k की संख्या है।

लाइबनिज सूत्र का प्रमाण

आइए दो कार्यों के सुधार के लिए सूत्र खोजें:
(2) .
हम सूत्र (2) को इस तरह से फिर से लिखते हैं:
.
इसलिए, हम जानते हैं कि एक फ़ंक्शन परिवर्तन x के रूप में जमा होता है, और दूसरा - परिवर्तन y के रूप में। उदाहरण के लिए, हम rozrahunka का सम्मान करते हैं। पिछला सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(3) .
शार्क सदस्यों के योग के समान हैं, और त्वचा सदस्य दो कार्यों के अतिरिक्त है, तो परिमाण के उच्च आदेश की गणना, आप क्रमिक रूप से नियम (3) zastosovuvat कर सकते हैं।

समान n-वें क्रम के लिए समान हो सकता है:

.
व्राहोवुची, स्को और मील ओट्रिम्यूमो लाइबनिज़ सूत्र:
(1) .

प्रेरण द्वारा प्रमाण

आइए हम गणितीय प्रेरण द्वारा लाइबनिज सूत्र को सिद्ध करें।

एक बार फिर हम लाइबनिज सूत्र लिखते हैं:
(4) .
एन = 1 के लिए यह संभव है:
.
यह सूत्र दो कार्यों के अभ्यास के समान है। वॉन सही है।

मान लें कि सूत्र (4) समान n-वें क्रम के लिए मान्य है। यह दिखाया जा सकता है कि यह एक समान n+ . के लिए मान्य है 1 वें आदेश।

अंतर (4):
;



.
पिता, हम जानते थे:
(5) .

आइए इसे (5) में रखें और हम कह सकते हैं कि:

.
यह देखा जा सकता है कि एक समान n + . के लिए सूत्र (4) का एक ही रूप i हो सकता है 1 वें आदेश।

बाद में, सूत्र (4) n = . के लिए मान्य है 1 . चिंता करें, दशमलव संख्या n \u003d m . के लिए क्या जीता है 1 .
लाइबनिज फॉर्मूला पूरा हो गया है।

बट

n-वें यादृच्छिक फलन की गणना कीजिए
.

आइए लाइबनिज़ सूत्र को हल करें
(2) .
हमारी पसंद के अनुसार
;
.

हाल की माताओं की मेज के पीछे:
.
Zastosovuєmo त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्ति:
.
टोडी
.
यह देखा जा सकता है कि फंक्शन साइन का विभेदन zsuv on पर लाया जाता है। टोडी
.

हम समान कार्यों को जानते हैं।
;
;
;
, .

Oskіlki at , तो लीबनिज़ सूत्र में शून्य के रूप में तीन से अधिक प्रथम पद हैं। हम जानते हैं कि koefіtsієnti।
;
.

लाइबनिज़ सूत्र के लिए, हम कर सकते हैं:

.

विभाग भी: