Вирішення прикладних завдань зводиться до обчислення інтеграла, але не завжди це можливо зробити точно. Іноді потрібно знати значення певного інтеграла з певною мірою точності, наприклад, до тисячної.

Існують завдання, коли слід знайти наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю, тоді застосовують чисельне інтегрування таке, як метод Симпосна, трапецій, прямокутників. Не всі випадки дозволяють вирахувати його з певною точністю.

Ця стаття розглядає застосування формули Ньютона-Лейбніца. Це необхідно для точного обчислення певного інтегралу. Будуть наведені докладні приклади, розглянуті заміни змінної у певному інтегралі та знайдемо значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.

Формула Ньютона-Лейбніца

Визначення 1

Коли функція y = y (x) є безперервною з відрізка [a; b ] ,а F (x) є однією з першорядних функцій цього відрізка, тоді формула Ньютона-Лейбніцавважається справедливою. Запишемо її так ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .

Цю формулу вважають основною формулою інтегрального обчислення.

Щоб довести цю формулу, необхідно використовувати поняття інтеграла з наявною змінною верхньою межею.

Коли функція y = f (x) безперервна з відрізка [a; b], тоді значення аргументу x ∈ a; b а інтеграл має вигляд ∫ a x f (t) d t і вважається функцією верхньої межі. Необхідно прийняти позначення функції набуде вигляду ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , вона є безперервною, причому для неї справедлива нерівність виду ∫ a x f (t) d t = Φ "(x) = f (x) .

Зафіксуємо, що прирощенні функції Φ (x) відповідає прирощенню аргументу ∆ x , необхідно скористатися п'ятою основною властивістю певного інтеграла та отримаємо

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) · x + ∆ x - x = f(c) · ∆ x

де значення c ∈ x; x + ∆ x.

Зафіксуємо рівність у вигляді Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . За визначенням похідної функції необхідно переходити до межі при ∆ x → 0 , тоді отримуємо формулу виду Φ "(x) = f (x) . розташованої на [a;b] Інакше вираз можна записати

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C де значення C є постійною.

Проведемо обчислення F(a) з використанням першої якості певного інтеграла. Тоді отримуємо, що

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a af (t) d t + C = 0 + C = C, звідси отримуємо, що C = F (a). Результат застосовуємо при обчисленні F (b) та отримаємо:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), інакше кажучи, F (b) = ∫ abf (t) dt + F ( a) . Рівність доводить формулу Ньютона-Лейбніца ∫ a b f(x) d x + F(b) - F(a)

Приріст функції приймаємо як F x a b = F(b) - F(a). За допомогою позначення формулу Ньютона-Лейбніца набуває вигляду ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Щоб застосувати формулу, обов'язково необхідно знати одну з первісних y = F(x) підінтегральної функції y = f(x) з відрізка [a; b ] , зробити обчислення збільшення першорядної з цього відрізка. Розглянемо кілька прикладів обчислення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 1

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ 1 3 x 2 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Розглянемо, що підінтегральна функція виду y = x2 є безперервною з відрізка [1; 3 ] , і тоді інтегрована на цьому відрізку. По таблиці невизначених інтегралів бачимо, що функція y = x 2 має безліч першорядних для дійсних значень x , значить, x ∈ 1 ; 3 запишеться як F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необхідно взяти первісну з З = 0 тоді отримуємо, що F (x) = x 3 3 .

Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца і отримаємо, що обчислення певного інтеграла набуде вигляду ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Відповідь:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Приклад 2

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Задана функція безперервна з відрізка [-1; 2], отже, на ньому інтегрована. Необхідно знайти значення невизначеного інтеграла ∫ x · ex 2 + 1 dx за допомогою методу підведення під знак диференціала, тоді отримуємо ∫ x · ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.

Звідси маємо безліч первинних функцій y = x · e x 2 + 1 , які дійсні для всіх x , x ∈ - 1 ; 2 .

Необхідно взяти первісну при С = 0 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Тоді отримаємо вираз виду

∫ - 1 2 x · ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Відповідь:∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Приклад 3

Здійснити обчислення інтегралів ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Рішення

Відрізок - 4; - 1 2 говорить про те, що функція, що знаходиться під знаком інтеграла, є безперервною, отже, вона інтегрується. Звідси знайдемо безліч первинних функцій y = 4 x 3 + 2 x 2 . Отримуємо, що

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необхідно взяти первинну F (x) = 2 x 2 - 2 x тоді, застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, отримуємо інтеграл, який обчислюємо:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Проводимо перехід до обчислення другого інтеграла.

З відрізка [-1; 1 ] маємо, що підінтегральна функція вважається необмеженою, тому що lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тоді звідси випливає, що необхідною умовою інтегрованості з відрізка. Тоді F(x) = 2 x 2 - 2 x не є первісною для y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1 ] , оскільки точка O належить відрізку, але не входить до області визначення. Отже, є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Відповідь: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,є певний інтеграл Рімана та Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Перед використанням формули Ньютона-Лейбніца потрібно точно знати існування певного інтеграла.

Заміна змінної у певному інтегралі

Коли функція y = f (x) є певною та безперервною з відрізка [ a ; b], тоді наявна безліч [a; b] вважається областю значень функції x = g (z), визначеної на відрізку α; β з наявною безперервною похідною, де g (α) = a і g β = b , звідси отримуємо, що ? a b f (x) d x = ?

Дану формулу застосовують тоді, коли потрібно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , де невизначений інтеграл має вигляд ∫ f (x) d x , обчислюємо за допомогою методу підстановки.

Приклад 4

Здійснити обчислення певного інтеграла виду ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Рішення

Підінтегральна функція вважається безперервною на відрізку інтегрування, отже певний інтеграл має місце існування. Дамо позначення, що 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значення х = 9 означає, що z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 отримуємо, що z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 тоді g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При підстановці отриманих значень у формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z отримуємо, що

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

По таблиці невизначених інтегралів маємо, що з першорідних функції 2 z 2 + 9 приймає значення 2 3 a r c t g z 3 . Тоді при застосуванні формули Ньютона-Лейбніца отримуємо, що

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 3 3 3 3 = 2 3 3 3

Знаходження можна було робити, не використовуючи формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

Якщо за методу заміни використовувати інтеграл виду ∫ 1 x 2 x - 9 d x , можна дійти результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Звідси зробимо обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца і обчислимо певний інтеграл. Отримуємо, що

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 · 18 - 9 3 - arctg 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Результати збіглися.

Відповідь: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Інтегрування частинами під час обчислення певного інтеграла

Якщо на відрізку [a; b ] визначені і безперервні функції u (x) і v (x) , тоді їх похідні першого порядку v "(x) · u (x) є інтегрованими, таким чином з цього відрізка для інтегрованої функції u "(x) · v ( x) рівність ∫ abv "(x) · u (x) dx = (u (x) · v (x)) ab - ∫ abu "(x) · v (x) dx справедливо.

Формулу можна використовувати тоді, необхідно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , причому ∫ f (x) d x необхідно було шукати його за допомогою інтегрування частинами.

Приклад 5

Провести обчислення певного інтеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Рішення

Функція x · sin x 3 + π 6 інтегрована на відрізку - π 2; 3 π 2 значить вона безперервна.

Нехай u (x) = х, тоді d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + π 6 dx , причому d (u (x)) = u "(x) dx = dx а v (x) = - 3 cos 3 + 6 . З формули ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x отримаємо, що

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Рішення прикладу можна виконати іншим чином.

Знайти безліч первинних функцій x · sin x 3 + π 6 за допомогою інтегрування частинами із застосуванням формули Ньютона-Лейбніца:

∫ x · sin xx 3 + π 6 dx = u = x , dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Відповідь: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Похідні вищих порядків

На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні вищих порядків, а також записувати загальну формулу енної похідної. Крім того, буде розглянута формула Лейбніца такою похідною і на численні прохання - похідні вищих порядків від неявно заданої функції. Пропоную одразу ж пройти міні-тест:

Ось функція: і ось її перша похідна:

У тому випадку, якщо у вас виникли якісь труднощі/нерозуміння з цього приводу, будь ласка, почніть з двох базових статей мого курсу: Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Після освоєння елементарних похідних рекомендую ознайомитись із уроком Найпростіші завдання з похідною, на якому ми розібралися, зокрема зі другий похідний.

Неважко навіть здогадатися, що друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

У принципі, другу похідну вже вважають похідною найвищого ладу.

Аналогічно: третя похідна – це похідна від 2-ї похідної:

Четверта похідна є похідна від 3-ї похідної:

П'ята похідна: , і очевидно, що всі похідні вищих порядків теж дорівнюватимуть нулю:

Крім римської нумерації на практиці часто використовують такі позначення:
, похідну ж «енного» порядку позначають через . При цьому надрядковий індекс потрібно обов'язково укладати у дужки.– щоб відрізняти похідну від «гравця» у мірі.

Іноді зустрічається такий запис: - Третя, четверта, п'ята, ..., «Енна» похідні відповідно.

Вперед без страху та сумнівів:

Приклад 1

Дана функція. Знайти.

Рішення: Що тут попишеш ... - вперед за четвертою похідною:)

Чотири штрихи ставити вже не прийнято, тому переходимо на числові індекси:

Відповідь:

Добре, а тепер замислимося над таким питанням: що робити, якщо за умовою потрібно знайти не 4, а наприклад, 20 похідну? Якщо для похідної 3-4-5-го (максимум, 6-7-го)порядку рішення оформляється досить швидко, то до похідних вищих порядків ми «доберемося» ой як не скоро. Не записувати ж справді 20 рядків! У подібній ситуації потрібно проаналізувати кілька знайдених похідних, побачити закономірність і скласти формулу енної похідної. Так, у Прикладі №1 легко зрозуміти, що при кожному наступному диференціюванні перед експонентою «вискакуватиме» додаткова «трійка», причому на будь-якому кроці ступінь «трійки» дорівнює номеру похідної, отже:

Де – довільне натуральне число.

Якщо , то виходить точно 1-я похідна: , Якщо - то 2-а: і т.д. Таким чином, двадцята похідна визначається миттєво: – і жодних «кілометрових простирадл»!

Розігріваємось самостійно:

Приклад 2

Знайти функції. Записати похідну систему

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після бадьорої розминки розглянемо більше складні приклади, В яких відпрацюємо вищенаведений алгоритм рішення. Тим, хто встиг ознайомитись із уроком Межа послідовності, буде трохи легше:

Приклад 3

Знайти функції .

Рішення: щоб прояснити ситуацію знайдемо кілька похідних:

Отримані числа перемножувати не поспішаємо! ;-)


Мабуть, досить. …Навіть трохи переборщив.

На наступному кроці найкраще скласти формулу «енної» похідної (якщо умова цього не вимагає, то можна обійтися чернечкою). Для цього дивимося на отримані результати та виявляємо закономірності, з якими виходить кожна наступна похідна.

По-перше, вони знаходять черги. Знакочередування забезпечує «мигалка», І оскільки 1-я похідна позитивна, то загальну формулу увійде наступний множник: . Підійде і еквівалентний варіант, але особисто я як оптиміст люблю знак «плюс» =)

По-друге, у чисельнику «накручується» факторіал, причому він «відстає» від номера похідної однією одиницю:

І по-третє, у чисельнику зростає ступінь «двійки», яка дорівнює номеру похідної. Те саме можна сказати про ступінь знаменника. Остаточно:

З метою перевірки підставимо парочку значень «ен», наприклад, і :

Чудово, тепер припуститися помилки – просто гріх:

Відповідь:

Простіша функція для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти функції.

І завдання цікавіше:

Приклад 5

Знайти функції.

Ще раз повторимо порядок дій:

1) Спочатку знаходимо кілька похідних. Щоб вловити закономірності, зазвичай вистачає трьох-чотирьох.

2) Потім рекомендую скласти (хоча б на чернетці)«Енну» похідну - вона гарантовано вбереже від помилок. Але можна уникнути і без , тобто. подумки прикинути і відразу записати, наприклад, двадцяту або восьму похідну. Більше того, деякі люди взагалі здатні вирішити ці завдання усно. Однак слід пам'ятати, що «швидкі» способи загрожують, і краще перестрахуватися.

3) На заключному етапі виконуємо перевірку «енної» похідної – беремо пару значень «ен» (краще за сусідні) і виконуємо підстановку. А ще надійніше – перевірити усі знайдені раніше похідні. Після чого підставляємо в потрібне значення, наприклад, або акуратно зачісуємо результат.

Коротке рішення 4 і 5 прикладів наприкінці уроку.

У деяких завданнях, щоб уникнути проблем, над функцією потрібно трохи почаклувати:

Приклад 6

Рішення: диференціювати запропоновану функцію зовсім не хочеться, оскільки вийде «поганий» дріб, який сильно ускладнить перебування наступних похідних.

У цьому зв'язку доцільно виконати попередні перетворення: використовуємо формулу різниці квадратіві властивість логарифму :

Зовсім інша справа:

І старі подруги:

Думаю, все проглядається. Зверніть увагу, що другий дріб знак чергується, а перший - ні. Конструюємо похідну систему:

Контроль:

Ну і для краси винесемо факторіал за дужки:

Відповідь:

Цікаве завдання для самостійного вирішення:

Приклад 7

Записати формулу похідної порядку для функції

А зараз про непорушну кругову поруку, якій позаздрить навіть італійська мафія:

Приклад 8

Дана функція. Знайти

Вісімнадцята похідна у точці. Усього.

Рішення: спочатку, очевидно, потрібно знайти Поїхали:

З синуса починали, до синуса і прийшли. Зрозуміло, що при подальшому диференціюванні цей цикл продовжуватиметься до нескінченності, і виникає наступне питання: як краще «дістатись» до вісімнадцятої похідної?

Спосіб «аматорський»: швиденько записуємо праворуч у стовпчик номери наступних похідних:

Таким чином:

Але це працює, якщо порядок похідної не дуже великий. Якщо ж треба знайти, скажімо, соту похідну, слід скористатися подільністю на 4 . Сто ділиться на чотири без залишку, і легко бачити, що такі числа розташовуються в нижньому рядку, тому: .

До речі, 18 похідну теж можна визначити з аналогічних міркувань:
у другому рядку знаходяться числа, які поділяються на 4 із залишком 2.

Інший, більш академічний метод заснований на періодичності синусуі формулах приведення. Користуємося готовою формулою «енної» похідної синусу , в яку просто підставляється потрібний номер. Наприклад:
(формула приведення ) ;
(формула приведення )

У нашому випадку:

(1) Оскільки синус – це періодична функція з періодом , то аргумент можна безболісно «відкрутити» 4 періоду (тобто ).

Похідну систему від виконання двох функцій можна знайти за формулою:

Зокрема:

Спеціально запам'ятовувати нічого не треба, бо чим більше формул знаєш – тим менше розумієш. Набагато корисніше ознайомитися з біномом Ньютонаоскільки формула Лейбніца дуже і дуже на нього схожа. Ну а ті щасливчики, яким дістанеться похідна 7-го або вищих порядків (що, правда, малоймовірно), будуть змушені це зробити Втім, коли черга дійде до комбінаторики- то все одно доведеться =)

Знайдемо третю похідну функції. Використовуємо формулу Лейбніца:

В даному випадку: . Похідні легко переклали усно:

Тепер акуратно та уважно виконуємо підстановку та спрощуємо результат:

Відповідь:

Аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 11

Знайти функції

Якщо у попередньому прикладі рішення «в лоб» ще конкурувало з формулою Лейбніца, то тут воно вже буде справді неприємним. І ще неприємніше – у разі вищого порядку похідної:

Приклад 12

Знайти похідну вказаного порядку

Рішення: перше і суттєве зауваження - вирішувати ось так , напевно, не потрібно =) =)

Запишемо функції та знайдемо їх похідні до 5-го порядку включно. Припускаю, що похідні правого стовпця стали для вас усними:

У лівому стовпці «живі» похідні швидко «закінчилися» і це дуже добре – у формулі Лейбніца обнуляться три доданки:

Знову зупинюся на дилемі, що фігурувала у статті про складних похідних: чи спрощувати результат? В принципі, можна залишити і так – викладачеві навіть легше перевірятиме. Але він може вимагати довести рішення до ладу. З іншого боку, спрощення з власної ініціативи загрожує помилками алгебри. Однак у нас є відповідь, отримана «первісним» способом =) (Див. посилання на початку), і я сподіваюся, він правильний:

Добре, все зійшлося.

Відповідь:

Щасливе завдання для самостійного вирішення:

Приклад 13

Для функції:
а) визначити безпосереднім диференціюванням;
б) знайти за формулою Лейбніца;
в) обчислити.

Ні, я зовсім не садист – пункт «а» тут досить простий.

А якщо серйозно, то «пряме» рішення послідовним диференціюванням теж має «право на життя» – у ряді випадків його складність можна порівняти зі складністю застосування формули Лейбніца. Використовуйте, якщо вважаєте за доцільне – це навряд чи буде основою незаліку завдання.

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Щоб підняти заключний параграф, потрібно вміти диференціювати неявні функції:

Похідні вищих порядків від функцій, заданих неявно

Багато хто з нас витратив довгі години, дні та тижні життя на вивчення кіл, парабол, гіпербол– а іноді це взагалі здавалося покаранням. Тож давайте помстимось і продиференціюємо їх як слід!

Почнемо зі «шкільної» параболи до неї канонічному становищі:

Приклад 14

Дано рівняння. Знайти.

Рішення: перший крок добре знайомий:

Те, що функція та її похідна виражені неявно суті справи не змінює, друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

Проте свої правила гри існують: похідні 2-го та більш високих порядків прийнято висловлювати тільки через «ікс» та «ігрок». Тому в отриману 2-у похідну підставимо:

Третя похідна - є похідна від 2-ї похідної:

Аналогічно, підставимо:

Відповідь:

«Шкільна» гіпербола в канонічному становищі– для самостійної роботи:

Приклад 15

Дано рівняння. Знайти.

Повторюю, що 2-у похідну та результат слід висловити лише через «ікс»/«гравець»!

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після дитячих витівок подивимося німецьку порногр@фію розглянемо більш дорослі приклади, з яких дізнаємося ще один важливий прийом рішення:

Приклад 16

Еліпсвласною персоною.

Рішення: знайдемо 1-у похідну:

А тепер зупинимося і проаналізуємо наступний момент: зараз має диференціювати дріб, що зовсім не тішить. В даному випадку вона, звичайно, проста, але в реально зустрічаються завдання таких подарунків разів два і влаштувався. Чи існує спосіб уникнути знаходження громіздкої похідної? Існує! Беремо рівняння і використовуємо той самий прийом, що і при знаходженні 1-ї похідної - «навішуємо» штрихи на обидві частини:

Друга похідна повинна бути виражена тільки через і тому зараз (саме зараз)зручно позбутися 1-ї похідної. Для цього в отримане рівняння підставимо:

Щоб уникнути зайвих технічних труднощів, помножимо обидві частини на:

І лише на завершальному етапі оформляємо дріб:

Тепер дивимося на вихідне рівняння та помічаємо, що отриманий результат піддається спрощенню:

Відповідь:

Як знайти значення 2-ї похідної в будь-якій точці (яка, зрозуміло, належить еліпсу), наприклад, у точці ? Дуже легко! Цей мотив вже зустрічався на уроці про рівнянні нормалі: у вираз 2-ї похідної потрібно підставити :

Безумовно, у всіх трьох випадках можна отримати явно задані функції та диференціювати їх, але тоді морально настройтесь працювати з двома функціями, що містять коріння. На мою думку, рішення зручніше провести «неявним шляхом».

Заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти неявно заданої функції

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

"Теж мені, біном Ньютона!»

з роману «Майстер і Маргарита»

«Трикутник Паскаля такий простий, що виписати його зможе навіть десятирічна дитина. У той самий час він таїть у собі невичерпні скарби і пов'язує докупи різні аспекти математики, які мають на перший погляд між собою нічого спільного. Настільки незвичайні властивостідозволяють вважати трикутник Паскаля однією з найвитонченіших схем у всій математиці»

Мартін Гарднер.

Мета роботи:узагальнити формули скороченого множення, показати їх застосування до розв'язання задач.

Завдання:

1) вивчити та систематизувати інформацію з даного питання;

2) розібрати приклади завдань на застосування бінома Ньютона та формул суми та різниці ступенів.

Об'єкти дослідження:біном Ньютона, формули суми та різниці ступенів.

Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково-популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет.

Розрахунки, порівняння, аналіз, аналогія.

Актуальність.Людині часто доводиться мати справу із завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії. Різні шляхи чи варіанти, які доводиться вибирати людині, складаються у найрізноманітніші комбінації. І цілий розділ математики, званий комбінаторикою, зайнятий пошуком відповіді питання: скільки всього є комбінацій у тому чи іншому випадку.

З комбінаторними величинами доводиться мати справу представникам багатьох спеціальностей: вченому-хіміку, біологу, конструктору, диспетчеру тощо. Посилення інтересу до комбінаторики Останнім часомобумовлюється бурхливим розвитком кібернетики та обчислювальної техніки.

Вступ

Коли хочуть підкреслити, що співрозмовник перебільшує складність завдань, з якими він зіткнувся, кажуть: Теж мені біном Ньютона! Мовляв, ось біном Ньютона, це складно, а в тебе якісь проблеми! Про біном Ньютона чули навіть ті люди, інтереси яких не пов'язані з математикою.

Слово «біном» означає двочлен, тобто. суму двох доданків. Зі шкільного курсу відомі так звані формули скороченого множення:

( а+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Узагальненням цих формул є формула, яка називається формулою бінома Ньютона. Використовуються в школі та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів. Чи мають вони узагальнення для інших ступенів? Так, є такі формули, вони часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення.

Вивчення узагальнюючих формул розвиває дедуктивно-математичне мислення та загальні розумові здібності.

РОЗДІЛ 1. ФОРМУЛА БІНОМА НЬЮТОНА

Поєднання та їх властивості

Нехай X - множина, що складається з n елементів. Будь-яке підмножина Y множини X , що містить елементів k, називається поєднанням k елементів з n , при цьому, k ≤ n .

Число різних поєднань k елементів з n позначається З n k . Однією з найважливіших формул комбінаторики є наступна формула для числа n k :

Її можна записати після очевидних скорочень таким чином:

Зокрема,

Це цілком узгоджується з тим, що у множині X є тільки одне підмножина з 0 елементів - порожнє підмножина.

Числа C n k мають ряд чудових властивостей.

Справедлива формула З n k = З n - k n , (3)

Сенс формули (3) полягає в тому, що є взаємно-однозначна відповідність між безліччю всіх k-членних підмножин з X і безліччю всіх (n - k )-членних підмножин з X: щоб встановити цю відповідність, достатньо кожному k-членному підмножині Y зіставити його доповнення у множині X.

Справедлива формула З 0 n + З 1 n + З 2 n + … + З n n = 2 n (4)

Сума, що стоїть у лівій частині, виражає собою число всіх підмножин множини X (C0n є число 0-членних підмножин, C1n - число одночленних підмножин і т.д.).

За будь-якого k, 1≤ k≤ n , справедлива рівність

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Цю рівність легко отримати за допомогою формули (1). Справді,

1.2. Висновок формули бінома Ньютона

Розглянемо ступеня двочлена а +b .

n = 0, (а +b ) 0 = 1

n = 1, (а +b ) 1 = 1а+1b

n = 2,(а +b ) 2 = 1а 2 + 2аb +1 b 2

n = 3,(а +b ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 +1 b 3

n = 4,(а +b ) 4 = 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 +4аb 3 +1 b 4

n = 5,(а +b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5аb 4 + 1 b 5

Зауважимо такі закономірності:

Число членів одержуваного багаточлена на одиницю більше за показник ступеня бінома;

Показник ступеня першого доданку зменшується від n до 0, показник ступеня другого доданку зростає від 0 до n;

Ступені всіх одночленів рівні ступеня двочлена за умови;

Кожен одночлен є твором першого та другого вираження у різних ступенях і деякого числа – біномінального коефіцієнта;

Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від початку та кінця розкладання, рівні.

Узагальненням цих формул є така формула, звана формулою бінома Ньютона:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

У цій формулі nможе бути будь-яким натуральним числом.

Виведемо формулу (6). Насамперед, запишемо:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

де число дужок, що перемножуються, дорівнює n. Зі звичайного правила множення суми на суму випливає, що вираз (7) дорівнює сумі всіляких творів, які можна скласти таким чином: будь-яке доданок першої із сум а + bмножиться на будь-який доданок другої суми a +bна будь-який доданок третьої суми і т.д.

Зі сказаного ясно, що доданком у виразі для (a + b ) nвідповідають (взаємно-однозначно) рядки завдовжки n, складені з літер а та b.Серед доданків зустрічатимуться подібні члени; очевидно, що таким членам відповідають рядки, що містять однакову кількість літер а. Але число рядків, що містять рівно k разів букву а, Так само З n k . Отже, сума всіх членів, що містять букву а множником рівно k разів, дорівнює С n k a n - k b k . Оскільки k може приймати значення 0, 1, 2, …, n-1, n, то нашого міркування слідує формула (6). Зауважимо, що (6) можна записати коротше: (8)

Хоча формулу (6) називають ім'ям Ньютона, вона була відкрита ще до Ньютона (наприклад, її знав Паскаль). Заслуга Ньютона у тому, що він знайшов узагальнення цієї формули у разі не цілих показників. Саме І.Ньютон у 1664-1665 рр. вивів формулу, що виражає ступінь двочлена для довільних дробових та негативних показників.

Числа 0 n , C 1 n , ..., C n n , що входять у формулу (6), прийнято називати біноміальними коефіцієнтами, які визначаються так:

З формули (6) можна отримати низку властивостей цих коефіцієнтів. Наприклад, вважаючи а=1, b = 1, отримаємо:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

тобто. формулу (4). Якщо покласти а= 1, b = -1, то матимемо:

0 = З 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

або С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Це означає, що сума коефіцієнтів парних членів розкладання дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладання; кожна їх дорівнює 2 n -1 .

Коефіцієнти членів, віддалених від кінців розкладання, рівні. Це властивості випливає із співвідношення: З n k = З n n - k

Цікавий окремий випадок

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

або коротше (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Поліноміальна теорема

Теорема.

Доказ.

Щоб після розкриття дужок вийшов одночлен, потрібно вибрати ті дужки, з яких береться, ті дужки, з яких береться і т.д. і ті дужки, з яких береться. Коефіцієнт при цьому одночлен після приведення подібних членів дорівнює числу способів , якими можна здійснити такий вибір. Перший крок послідовності виборів можна здійснити засобами, другий крок - , третій - і т.д., -й крок - засобами. Шуканий коефіцієнт дорівнює твору

РОЗДІЛ 2. Похідні найвищих порядків.

Поняття похідних вищих систем.

Нехай функція диференційована у певному інтервалі. Тоді її похідна, взагалі кажучи, залежить від х, тобто є функцією від х. Отже, стосовно неї знову можна ставити питання існування похідної.

Визначення . Похідна від першої похідної називається похідної другого порядку або другої похідної та позначається символом або, тобто

Визначення . Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною та позначається символом або.

Визначення . Похіднийn -ого порядкуфункції називається перша похідна від похідної (n -1)-го порядку цієї функції і позначається символом або:

Визначення . Похідні порядку вище першого називаються найвищими похідними.

Зауваження. Аналогічно можна отримати формулу n-ой похідної функції:

Друга похідна параметрично заданої функції

Якщо функція задана параметрично рівняннями, то знаходження похідної другого порядку необхідно продиференціювати вираз її першої похідної, як складної функції незалежної змінної.

Так як, то

та з урахуванням того, що,

Отримаємо, тобто.

Аналогічно можна знайти третю похідну.

Диференціал суми, твору та приватного.

Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна дійти аналогічних правил для відшукання диференціалів.

1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю.

2 0 . Диференціал суми алгебри кінцевого числа диференційованих функцій дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій .

3 0 . Диференціал твору двох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів першої функції на диференціал другої і другої функції на диференціал першої .

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціалу.

2.3. Функції, задані параметрично, їхнє диференціювання.

Визначення . Функція називається заданою параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї і тієї ж допоміжної змінної - параметраt :

деt змінюється у межах.

Зауваження . Наведемо параметричні рівняння кола та еліпса.

а) Коло з центром на початку координат та радіусом rмає параметричні рівняння:

б) Запишемо параметричні рівняння для еліпса:

Виключивши параметр tз параметричних рівнянь аналізованих ліній, можна дійти їх канонічним рівнянь.

Теорема . Якщо функція у від аргументу х задана параметрично рівняннями, де і диференційовані поt функції та, то.

2.4. Формула Лейбниця

Для знаходження похідної n-ого порядку від виконання двох функцій велике практичне значення має формула Лейбніца

Нехай uі v- Деякі функції від змінної х, що мають похідні будь-якого порядку та y = uv. Висловимо n-ую похідну через похідні функцій uі v .

Маємо послідовно

Легко помітити аналогію між виразами для другої та третьої похідних та розкладанням бінома Ньютона відповідно у другому та третьому ступенях, але замість показників ступеня стоять числа, що визначають порядок похідної, а самі функції можна розглядати як «похідні нульового порядку». Враховуючи це, отримаємо формулу Лейбніца:

Цю формулу можна довести методом математичної індукції.

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ЛІЙБНИЦЯ.

Для обчислення похідної будь-якого порядку від виконання двох функцій, минаючи послідовне застосування формули обчислення похідної від виконання двох функцій, застосовується формула Лейбниця.

За допомогою цієї формули розглянемо приклади обчислення похідної n-го порядку від виконання двох функцій.

приклад 1.

Знайти похідну другого порядку функції

Відповідно до визначення, друга похідна - це перша похідна від першої похідної, тобто

Тому спочатку знайдемо похідну першого порядку від заданої функції згідно правилам диференціюванняі використовуючи таблицю похідних:

Тепер знайдемо похідну від похідної першого порядку. Це буде шукана похідна другого порядку:

Відповідь:

приклад 2.

Знайти похідну-го порядку функції

Рішення.

Будемо послідовно знаходити похідні першого, другого, третього і так далі порядків заданої функції для того, щоб встановити закономірність, яку можна буде узагальнити на похідну.

Похідну першого порядку знаходимо як похідну приватного:

Тут вираз називається факторіалом числа. Факторіал числа дорівнює добутку чисел від одного до, тобто

Похідна другого порядку є першою похідною від першої похідної, тобто

Похідна третього порядку:

Четверта похідна:

Зауважимо закономірність: у чисельнику стоїть факторіал числа, яке дорівнює порядку похідної, а в знаменнику вираз у ступеню на одиницю більший, ніж порядок похідної, тобто

Відповідь.

Приклад 3.

Знайти значення третьої похідної функції у точці.

Рішення.

Згідно таблиці похідних вищих порядків, маємо:

У прикладі, що розглядається, тобто отримуємо

Зауважимо, що такий результат можна було б отримати і при послідовному знаходженні похідних.

У заданій точці третя похідна дорівнює:

Відповідь:

Приклад 4.

Знайти другу похідну функції

Рішення.Для початку знайдемо першу похідну:

Для знаходження другої похідної продиференціюємо вираз для першої похідної ще раз:

Відповідь:

Приклад 5.

Знайти, якщо

Оскільки задана функція є твір двох функцій, то знаходження похідної четвертого порядку доцільно буде застосувати формулу Лейбніца:

Знайдемо всі похідні та порахуємо коефіцієнти при доданках.

1) Порахуємо коефіцієнти при доданках:

2) Знайдемо похідні від функції:

3) Знайдемо похідні від функції:

Відповідь:

Приклад 6.

Дано функцію y=x 2 cos3x. Знайти похідну третього порядку.

Нехай u=cos3x, v=x 2 . Тоді за формулою Лейбніца знаходимо:

Похідні у цьому вираженні мають вигляд:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Отже, третя похідна заданої функції дорівнює

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Приклад 7.

Знайти похідну n -го порядку функції y=x 2 cosx.

Скористаємося формулою Лейбніца, вважаючиu=cosx, v=x 2 . Тоді

Інші члени ряду дорівнюють нулю, оскільки(x2)(i)=0 при i>2.

Похідна n -го порядку функції косинус:

Отже, похідна нашої функції дорівнює

ВИСНОВОК

У школі вивчаються і використовуються так звані формули скороченого множення: квадрати та куби суми та різниці двох виразів та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів двох виразів. Узагальненням цих формул є формула, звана формулою бінома Ньютона та формули розкладання на множники суми та різниці ступенів. Ці формули часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення. Розглянуто цікаві властивості трикутника Паскаля, тісно пов'язані з біномом Ньютона.

У роботі систематизовано інформацію на тему, наведено приклади завдань застосування бінома Ньютона і формул суми і різниці ступенів. Робота може бути використана у роботі математичного гуртка, а також для самостійного вивчення тими, хто захоплюється математикою.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ

1.Віленкін Н.Я. Комбінаторика.- вид. "Наука". - М., 1969

2. Нікольський С.М., Потапов М.К., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра та початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. організацій базовий та поглиблений рівні – М.: Просвітництво, 2014. – 431 с.

3.Рішення завдань зі статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей. 7-9 кл./ Автор - укладач В.М. Студенецька. - Вид. 2-ге., іспр. - Волгоград: Вчитель, 2009 р.

4.Савушкіна І.А., Хугаєв К.Д., Тишкін С.Б. Алгебраїчні рівняння вищих ступенів/ Методичний посібник для слухачів міжвузівського підготовчого відділення. – Санкт-Петербург, 2001.

5. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Розв'язання задач. Навчальний посібник для 10 кл. середньої школи. - М: Просвітництво, 1989.

6.Наука і життя, Біном Ньютона та трикутник Паскаля[Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Наводиться формула Лейбніца для обчислення n-йпохідної праці двох функцій. Надано її доказ двома способами. Розглянуто приклад обчислення похідної n-го порядку.

Зміст

Див. також: Похідна робота двох функцій

Формула Лейбниця

За допомогою формули Лейбніца можна обчислити похідну n-го порядку від двох функцій. Вона має такий вигляд:
(1) ,
де
- Біноміальні коефіцієнти.

Біноміальні коефіцієнти є коефіцієнтами розкладання бінома за ступенями і:
.
Також число є числом поєднань з n k .

Доказ формули Лейбниця

Застосуємо формулу похідної добутку двох функцій:
(2) .
Перепишемо формулу (2) у такому вигляді:
.
Тобто ми вважаємо, що одна функція залежить від змінної x, а інша - від змінної y. Наприкінці розрахунку ми вважаємо. Тоді попередню формулу можна записати так:
(3) .
Оскільки похідна дорівнює сумі членів, і кожен член є добутком двох функцій, то обчислення похідних вищих порядків, можна послідовно застосовувати правило (3).

Тоді для похідної n-го порядку маємо:

.
Враховуючи, що і ми отримуємо формулу Лейбніца:
(1) .

Доказ методом індукції

Наведемо доказ формули Лейбніца методом математичної індукції.

Ще раз випишемо формулу Лейбніца:
(4) .
При n = 1 маємо:
.
Це формула похідної праці двох функцій. Вона справедлива.

Припустимо, що формула (4) справедлива для похідної n-го порядку. Доведемо, що вона справедлива для похідної n+ 1 -го порядку.

Диференціюємо (4):
;



.
Отже, ми знайшли:
(5) .

Підставимо в (5) і врахуємо, що :

.
Звідси видно, що формула (4) має той самий вид і для похідної n + 1 -го порядку.

Отже, формула (4) справедлива за n = 1 . З припущення, що вона виконується для деякого числа n = m випливає, що вона виконується для n = m + 1 .
Формула Лейбніца доведена.

Приклад

Обчислити n-ю похідну функції
.

Застосуємо формулу Лейбниця
(2) .
У нашому випадку
;
.

За таблицею похідних маємо:
.
Застосовуємо властивості тригонометричних функцій:
.
Тоді
.
Звідси видно, що диференціювання функції синус призводить до зсуву на . Тоді
.

Знаходимо похідні від функції.
;
;
;
, .

Оскільки при , то у формулі Лейбніца відмінні від нуля лише перші три члени. Знаходимо біномні коефіцієнти.
;
.

За формулою Лейбніца маємо:

.

Див. також: