การนำไปใช้งานจะลดลงเหลือเพียงการคำนวณอินทิกรัล แต่ไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ บางครั้งจำเป็นต้องรู้คุณค่าของอินทิกรัลการร้องเพลงกับโลกแห่งความแม่นยำในการร้องเพลง ตัวอย่างเช่น มากถึงหนึ่งในพัน

Іsnuyut zavdannya หากคุณทราบค่าโดยประมาณของอินทิกรัลเชิงเส้นที่มีความแม่นยำที่จำเป็น คุณสามารถทำการรวมเชิงตัวเลขได้ในลักษณะเดียวกับวิธี Simpos สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยม vipadki บางรายไม่อนุญาตให้วีรวัฒน์โยคะมีความแม่นยำในการร้องเพลง

บทความนี้กล่าวถึงสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ จำเป็นสำหรับการคำนวณที่แน่นอนของอินทิกรัลแรก แอปพลิเคชันการรายงานจะถูกจัดทำขึ้น การเปลี่ยนการเปลี่ยนแปลงในอินทิกรัลซิงก์จะได้รับการตรวจสอบ และค่าของอินทิกรัลซิงก์จะทราบเมื่อรวมเข้าด้วยกันโดยชิ้นส่วนต่างๆ

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

นัดหมาย 1

ถ้าฟังก์ชัน y = y (x) เป็นวงต่อเนื่อง [a; b ] , และ F (x) สูตรนิวตัน-ไลบนิซเคารพความยุติธรรม เราเขียน її ดังนี้: ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .

สูตรชิวเป็นสิ่งสำคัญ สูตรหลักของการคำนวณอินทิกรัล

เพื่อนำสูตรนี้มาใช้ จำเป็นต้องทำความเข้าใจเกี่ยวกับปริพันธ์ด้วยขอบเขตบนที่เปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน

ถ้าฟังก์ชัน y = f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก [a; b] ถ้าค่าของอาร์กิวเมนต์ x ∈ a; b และอินทิกรัลอาจมีลักษณะ ∫ a x f (t) d ผม ถูกนำมาพิจารณาโดยฟังก์ชันของขอบเขตบน จำเป็นต้องยอมรับค่าของฟังก์ชันในอนาคตเป็น ∫ a x f (t) d t = Φ (x) จะไม่ขาดตอน นอกจากนี้ รูปแบบที่ไม่สม่ำเสมอ ∫ a x f (t) d t = Φ "( x) = f (x) ถูกต้องสำหรับมัน

ได้รับการแก้ไขแล้วว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น Φ (x) ยืนยันอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น ∆ x จำเป็นต้องเร่งกำลังหลักที่ห้าของอินทิกรัลซิงก์

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆ x

ค่า de c ∈ x; x + ∆x.

เราแก้ไขความเท่าเทียมกันของดวงตา Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . สำหรับฟังก์ชันที่เลือก จำเป็นต้องไปที่ขอบเขตเป็น ∆ x → 0 จากนั้นเราใช้สูตรของรูปแบบ Φ "(x) = f (x)

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C

มาคำนวณ F(a) จากจำนวนเลขลำดับหนึ่งของอินทิกรัลแรกกัน Todi orimuemo that

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a af (t) d t + C = 0 + C = C แน่นอน C = F (a) ผลลัพธ์จะคงที่เมื่อคำนวณ F (b) และนำมา:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) เห็นได้ชัดว่า F (b) = ∫ abf (t) dt + F ( a ) . ความใจเย็นนำสูตรนิวตัน-ไลบนิซ ∫ a b f(x) d x + F(b) - F(a)

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันถือเป็น F x a b = F(b) - F(a) สำหรับความรู้เพิ่มเติม สูตรของนิวตัน-ไลบนิซจะมีลักษณะดังนี้ ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a)

เพื่อให้สูตรสมบูรณ์ จำเป็นต้องรู้หนึ่งในฟังก์ชันหลัก y = F(x) ของฟังก์ชันอินทิกรัล y = f(x) ของ doublet [a; ข ] มาดูการประยุกต์ใช้การคำนวณสูตรชัยชนะของ Newton-Leibniz

ก้น 1

คำนวณอินทิกรัลอย่างง่าย ∫ 1 3 x 2 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิทซ์

วิธีการแก้

ลองดูว่าฟังก์ชัน integrand ของรูปแบบ y = x2 เป็นลูปที่ไม่มีการรบกวน [1; 3] และยังรวมเข้ากับอีกด้านหนึ่ง จากตารางของอินทิกรัลที่ไม่สำคัญ ฟังก์ชัน y = x 2 จะไม่มีแบบอย่างสำหรับค่าที่แท้จริงของ x ซึ่งหมายความว่า x ∈ 1; 3 เขียน F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . จำเป็นต้องใช้ s Z = 0 ตัวแรกจากนั้นจึงจำเป็นที่ F (x) = x 3 3 .

เร่งด้วยสูตร Newton-Leibniz และเราคำนึงว่าการคำนวณอินทิกรัลซิงก์จะเห็นได้ในอนาคต ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

คำแนะนำ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

ก้น2

คำนวณอินทิกรัลอย่างง่าย ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x โดยใช้สูตร Newton-Leibnitz

วิธีการแก้

มีการตั้งค่าฟังก์ชันโดยไม่หยุดชะงัก [-1; 2] ต่อมารวมเข้ากับอันใหม่ จำเป็นต้องรู้ค่าของอินทิกรัลที่ไม่ได้กำหนด ∫ x ex 2 + 1 dx สำหรับวิธีการเพิ่มเติมในการเพิ่มเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล จากนั้นเราสามารถหาค่า ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 เช่น 2+1+C

การค้นพบฟังก์ชันหลักที่ไม่มีตัวตนที่เป็นไปได้ y = x · e x 2 + 1 ซึ่งใช้ได้กับ x , x ∈ - 1 ทั้งหมด ; 2.

จำเป็นต้องสอบเบื้องต้นที่ C = 0 และใช้สูตร Newton-Leibniz Todi otrimaemo ใจ

∫ - 1 2 x อดีต 2 + 1 dx = 1 2 อดีต 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 อี 2 (อี 3 - 1)

คำแนะนำ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

ก้น 3

คำนวณอินทิกรัล ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x

วิธีการแก้

Vіdrіzok - 4; - 1 2 พูดถึงฟังก์ชันที่ทราบภายใต้เครื่องหมายของอินทิกรัลโดยไม่หยุดชะงัก จึงสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ เราทราบฟังก์ชันหลักที่ไม่รู้จัก y = 4 x 3 + 2 x 2 . เรายอมรับว่า

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

จำเป็นต้องใช้ F (x) หลัก \u003d 2 x 2 - 2 x todi โดยใช้สูตร Newton-Leibniz เราใช้อินทิกรัลซึ่งสามารถคำนวณได้:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

เราดำเนินการเปลี่ยนไปสู่การคำนวณอินทิกรัลอื่น

Z vіdrіzka [-1; 1 ] บางทีฟังก์ชัน integrand นั้นสำคัญที่จะต้องไม่ถูกจำกัด สำหรับ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องมีการบูรณาการทางจิตที่จำเป็น จากนั้น F(x) = 2 x 2 - 2 x ไม่ใช่ค่าหลักสำหรับ y = 4 x 3 + 2 x 2 โดยมีค่าเพิ่มเติม [-1; 1 ] เศษของจุด O อยู่ในvіrіzku แต่อย่าเข้าสู่ภูมิภาคปลายทาง นอกจากนี้є Riemann และ Newton-Leibniz ร้องเพลงอินทิกรัลสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 z double [-1; หนึ่ง].

คำแนะนำ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,єร้องเพลงอินทิกรัลของ Riemann และ Newton-Leibniz สำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 z double [-1; หนึ่ง].

ก่อนที่จะลองใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ คุณจำเป็นต้องรู้พื้นฐานของอินทิกรัลซิงก์อย่างแน่นอน

การแทนที่การเปลี่ยนแปลงในอินทิกรัลร้องเพลง

หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) เป็นเส้นตรงและไม่ขาดตอน z v_drіzka [ a ; b] แต่ก็เห็นได้ชัดว่าไม่มีตัวตน [a; b] ค่าของฟังก์ชัน x = g (z) ถูกกำหนดให้กับภูมิภาค α; β อย่างชัดเจนโดยไม่หยุดชะงัก de g (α) = a і g β = b มันเป็นสิ่งจำเป็นอะไร? a b f (x) d x = ?

สูตรที่กำหนดสามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล a b f (x) d x อินทิกรัลสามารถมีลักษณะดังนี้ ∫ f (x) d x ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการทดแทน

ก้น 4

คำนวณอินทิกรัลอย่างง่ายในรูปแบบ ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x

วิธีการแก้

ฟังก์ชันอินทิกรัลถือว่าไม่สามารถขัดจังหวะสำหรับการผสานรวม และอินทิกรัลเดียวกันสามารถใช้ในที่เดียวกันได้ ค่าคือ 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . ค่า x \u003d 9 หมายความว่า z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 และด้วย x \u003d 18 เป็นที่ยอมรับว่า z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3 จากนั้น g α \ u003d ก. (3) \u003d 9, ก. β = ก. 3 3 = 18 . เมื่อแทนที่ค่าของ y จะถูกนำออกจากสูตร ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z ซึ่ง

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

ตามตารางของอินทิกรัลที่ไม่มีนัยสำคัญ เป็นไปได้ว่าค่า 2 3 a r c t g z 3 ถูกนำมาจากฟังก์ชันก่อนหน้า 2 z 2 + 9 . จากนั้นเมื่อสูตรของ Newton-Leibniz ติดอยู่ก็จำเป็นที่

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 3 3 3 3 = 2 3 3 3

ความรู้สามารถใช้ได้โดยไม่ต้องมีสูตรชัยชนะ ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z

สำหรับวิธีการเปลี่ยนอินทิกรัลบิดเบี้ยวของแบบฟอร์ม ∫ 1 x 2 x - 9 d x คุณจะได้ผลลัพธ์ ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

แคลคูลัสZvіdsi zrobchimo สำหรับสูตรของ Newton-Leibnіtsและ sevny ที่คำนวณได้ เรายอมรับว่า

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

ผลลัพธ์ก็เบ้

คำแนะนำ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

บูรณาการโดยส่วน pid ชั่วโมงของการคำนวณอินทิกรัลร้องเพลง

Yakshcho บนvіdrіzku [a; b ] ฟังก์ชั่นที่ได้รับมอบหมายและไม่หยุดชะงัก u (x) і v (x) คล้ายกับคำสั่งแรก v "(x) u (x) єіบูรณาการดังนั้นลำดับที่สามสำหรับฟังก์ชันรวม u "(x ) v ( x) ความเท่าเทียมกัน ∫ abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu "(x) v (x) dx เป็นจริง

สูตรนี้สามารถปรับแต่งได้เหมือนกัน จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล a b f (x) d x ยิ่งไปกว่านั้น ∫ f (x) d x จำเป็นต้องตรวจสอบสำหรับการรวมเพิ่มเติมตามส่วนต่างๆ

ก้น 5

คำนวณอินทิกรัลแรก ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

วิธีการแก้

ฟังก์ชั่น x · sin x 3 + π 6 ถูกรวมเข้ากับvіdrіzku - π 2; 3 π 2 หมายความว่าไม่มีการหยุดชะงัก

ให้ u (x) \u003d x จากนั้น d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d บาป x 3 + π 6 dx ยิ่งไปกว่านั้น d (u (x)) \u003d u "(x ) dx \u003d dx a v (x) = - 3 cos 3 + 6 . 3 สูตร ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u "(x) v (x) d x

∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 บาป π 2 + π 6 - บาป - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

วิธีแก้ปัญหาก้นสามารถเป็น vikonati ด้วยอันดับที่แตกต่างกัน

หากต้องการทราบฟังก์ชันหลักที่ไม่มีตัวตน x บาป x 3 + π 6 พร้อมการรวมเพิ่มเติมตามส่วนต่างๆ จากสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

∫ x บาป xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = บาป x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

คำแนะนำ: ∫ x บาป x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

จำคำขอโทษในข้อความได้อย่างไร เมตตา เห็นแล้วกด Ctrl + Enter

Pokhіdnіคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ในวัยนี้ เราเรียนรู้ที่จะรู้จักคำสั่งที่ต่ำกว่า และเขียนสูตรทั่วไปของคำสั่งที่ต่ำกว่าด้วย นอกจากนี้ สูตรของไลบนิซจะถูกพิจารณาว่าเป็นโพรฮันยาที่คล้ายคลึงกันและเป็นตัวเลข - คล้ายกับลำดับความสำคัญที่สูงกว่า ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้โดยปริยาย. ฉันอยากจะทำแบบทดสอบย่อย:

ฟังก์ชันแกน: ฉันแกนїї persha pokhіdna:

ในกรณีนั้น ตามที่คุณตำหนิสำหรับปัญหาบางอย่าง / เหตุผลที่เข้าใจยากสำหรับไดรฟ์นี้ โปรดเริ่มต้นด้วยบทความพื้นฐานสองบทความในหลักสูตรของฉัน: จะรู้ได้อย่างไรว่าฉันจะไปі ฟังก์ชั่นพับ. หลังจากเชี่ยวชาญpokhіdnyhระดับประถมศึกษาแล้วฉันแนะนำให้คุณเรียนรู้จากบทเรียน งานศพที่ง่ายที่สุดที่เราลุกขึ้น zokrema z pokhіdny .อื่น.

ไม่สำคัญว่าจะเดาว่าเพื่อนเลว - เลวเหมือนอย่างแรกที่ไม่ดี:

โดยหลักการแล้วฉันจะสูญเสียเพื่อนของฉัน แต่ vvazhayut อย่างดีที่สุด

ในทำนองเดียวกัน: ที่สามแย่กว่า - แย่กว่าอันที่ 2 แย่กว่า:

อันที่สี่คืออันสุดท้าย อันที่สามคืออันสุดท้าย:

P'yata เป็นสิ่งที่ดี: และเห็นได้ชัดว่าความคล้ายคลึงกันของคำสั่งซื้อที่สูงกว่าสามารถเท่ากับศูนย์ได้:

ในทางปฏิบัติการนับเลขโรมันไครเมียมักมีการกำหนดดังต่อไปนี้:
, หมายความถึง คำสั่ง "มีพลัง" ผ่าน ด้วยเหตุนี้จึงต้องวางดัชนี superstring บนกุญแจมือ- เพื่อชุบชีวิตความตายของ "แรงโน้มถ่วง" ของโลก

บางครั้งก็มีบันทึกดังกล่าว: - สาม สี่ ปิยะตะ ... เอนนา คล้ายคลึงกัน

ไปข้างหน้าโดยไม่ต้องกลัวและสรุป:

ก้น 1

รับหน้าที่. รู้.

วิธีการแก้: มาทำอะไรที่นี่ ... - ไปต่อกันที่สี่ดี :)

Chotiri ใส่จังหวะแล้วไม่ยอมรับดังนั้นไปที่ดัชนีตัวเลข:

วิดโพวิด:

ดีแต่ตอนนี้มาคิดเรื่องอาหารกันดีกว่า ทำงานไปทำไม ในเมื่อจิตจำเป็นต้องรู้ไม่ 4 แต่ยกตัวอย่าง 20 จะไป? Yakshcho สำหรับเดือนมีนาคม 3-4-5 (สูงสุด 6-7)ลำดับของการตัดสินใจทำ shvidko ให้เสร็จ จากนั้นเราจะไม่ "รับ" ในลำดับที่สูงขึ้นถัดไป โอ้ จามรี เร็วๆ นี้ อย่าเขียนความจริง 20 แถว! ในสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกัน จำเป็นต้องวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างที่รู้จัก เพื่อปรับปรุงความสม่ำเสมอและกำหนดสูตรของตัวอย่างหลัง ดังนั้นใน Applied No. 1 จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าในกรณีที่มีความแตกต่างที่น่ารังเกียจทางผิวหนังต่อหน้าเลขชี้กำลัง "viskakuvatime" จะมีการเพิ่ม "สาม" เพิ่มเติมนอกจากนี้ในขั้นตอนที่สั้นที่สุดของ "สาม" มันคือ ชอบจำนวนที่แย่ลงเช่นกัน:

De เป็นจำนวนที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ

Yakshcho จากนั้นออกไปที่ 1 แย่: , Yakshcho - จากนั้น 2-a: เป็นต้น ในอันดับดังกล่าว ยี่สิบpokhіdna vyznaєtsya mittevo: - และ "การยืดกิโลเมตร" ถัดไป!

เล่นอย่างอิสระ:

ก้น2

รู้หน้าที่. เขียนระบบ

วิธีแก้ไขคือทำตามตัวอย่างของบทเรียน

หลังจากการวอร์มอัพของบาดิโอโร่ เราจะดูกันมากขึ้น หุ้นพับในบางวิธีในทางปฏิบัติ อัลกอริธึมของโซลูชันได้รับการแก้ไขแล้ว ทิมผู้ได้เรียนรู้บทเรียน ระหว่างซีเควนซ์เป็น troch ได้ง่ายขึ้น:

ก้น 3

รู้หน้าที่.

วิธีการแก้: เพื่อชี้แจงสถานการณ์ เราทราบข้อมูลบางส่วนต่อไปนี้:

คูณเลขไม่เร็ว! ;-)


มาบุต จบ. ... Navit trohi เกินเหตุ

ในการก้าวkrotsіควรเพิ่มสูตร "enї" pokhіdnoї (ถ้าใจไม่คิดอะไรก็ดำไปนิดได้). สำหรับผู้ที่เราประหลาดใจกับการปฏิเสธผลลัพธ์ เราจะเห็นความสม่ำเสมอที่ผิวหนังถูกโจมตี

ประการแรกกลิ่นเหม็นรู้จักปีศาจ ป้ายคิวปลอดภัย "ไฟกระพริบ", І oskіlki 1 pokhіdna เป็นบวก จากนั้นฉันจะใช้สูตรเพื่อดูตัวคูณที่น่ารังเกียจ: . Pіdіyde i ekvivalentny ตัวแปร แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันชอบคนมองโลกในแง่ดีชอบเครื่องหมายบวก =)

ในทางที่ต่างออกไป ตัวเศษ "ลม" แฟกทอเรียลยิ่งกว่านั้น vin "vіdstaє" ในจำนวนหนึ่งหน่วยเดียวกัน:

І ในทางที่สาม ขั้นตอนของ “สอง” จะเติบโตที่ตัวเลขราวกับว่าตัวเลขใกล้เคียงกัน สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับขั้นตอนของแบนเนอร์ ส่วนที่เหลือ:

จากวิธีการตรวจสอบย้อนกลับ เราสามารถแทนที่ค่า "en" สองสามค่าเช่น i:

อย่างปาฏิหาริย์การให้อภัยจะเริ่มขึ้น - เป็นเพียงบาป:

วิดโพวิด:

ฟังก์ชันง่าย ๆ สำหรับการมองเห็นที่เป็นอิสระ:

ก้น 4

รู้หน้าที่.

І zavdannya tsikavіshe:

ก้น 5

รู้หน้าที่.

มาทำซ้ำคำสั่งกันอีกครั้ง:

1) เรารู้จักปลาทะเลชนิดหนึ่งที่ตายแล้ว เพื่อที่จะจับกฎหมาย

2) จากนั้นฉันแนะนำให้พับ (อยากใช้สีดำ)“เอนนุ” หาย - รับรองติดทะเลเผชิญอภัยโทษ เบียร์สามารถยกเลิกได้และไม่มี tobto คิดเกี่ยวกับความคิดของคุณและจดบันทึก ตัวอย่างเช่น ยี่สิบหรือแปดฉันจะตาย ยิ่งไปกว่านั้น คน deakіvzagalі zdatnі vіrіshiti tsі zavdannya usno อย่างไรก็ตาม สิ่งต่อไปที่ต้องจำไว้คือ "Shvidki" สามารถคุกคาม และค่อนข้างจะปลอดภัย

3) ในขั้นตอนสุดท้าย จำเป็นต้องยืนยัน "en" pokhidnoy อีกครั้ง - เราใช้ค่า "en" สองสามค่า (อีกไม่นานสำหรับศาล) และยืนยันการทดแทน และยิ่งมีความหวังมากขึ้น - พิจารณาสิ่งที่เป็นที่รู้จักก่อนหน้านี้ หากมีการนำเสนอสิ่งที่ต้องการความหมาย เช่น หรือคำนวณผลลัพธ์ได้อย่างแม่นยำ

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ 4 และ 5 ตัวอย่างสำหรับบทเรียน

ในบางงาน เพื่อแก้ปัญหา จำเป็นต้องแก้ไขฟังก์ชันเล็กน้อย:

ก้น 6

วิธีการแก้: ฉันไม่ต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่เสนอ ฉันไม่ต้องการ เศษของหยดที่ "สกปรก" ซึ่งซ้ำเติมการตำหนิpokhіdnyhที่จะเกิดขึ้นอย่างมาก

ผู้ที่ลิงค์คือ dotsilno vikonati ต่อหน้าการเปลี่ยนแปลง: vikoristuemo สูตรผลต่างกำลังสองі พลังของลอการิทึม :

Zovsіmіnshaทางด้านขวา:

ฉันเพื่อนเก่า:

ฉันคิดว่าทุกอย่างมองเห็นได้ ให้ความเคารพว่าสัญญาณที่ไม่ดีอีกอันหนึ่งถูกดึงออกมาและอันแรก - ไม่ใช่ เราสร้างระบบที่คล้ายกัน:

ควบคุม:

เพื่อความงาม แฟคทอเรียลสำหรับแขน:

วิดโพวิด:

Tsіkave zavdannya สำหรับvyrіshennyaอิสระ:

ก้น7

เขียนสูตรในลำดับเดียวกันของฟังก์ชัน

และตอนนี้เกี่ยวกับการรับประกันร่วมกันที่ทำลายไม่ได้ซึ่งก็คือการแสดงความยินดีกับมาเฟียอิตาลี:

ก้น 8

รับหน้าที่. รู้

Vіsіmnadtsyata pokhіdna ณ จุดนั้น อุซโยโก.

วิธีการแก้: ย้อนหลังชัดๆ จำเป็นต้องรู้ ไปกันเลย:

พวกเขาซ่อมแซมจากไซนัสพวกเขามาถึงไซนัส เห็นได้ชัดว่ามีความแตกต่างเล็กน้อยวงจรจะยังคงไม่สิ้นสุดและจะนำไปสู่การเริ่มต้นของโภชนาการ: "ระยะทาง" ดีกว่าศตวรรษที่สิบแปดอย่างไร?

วิธี "มือสมัครเล่น": เราเขียนมือขวาที่ส่วนท้ายและหมายเลขของมือที่จะมาถึง:

ในลักษณะนี้:

Ale tse pratsyuєราวกับว่าคำสั่งของpokhіdnoiนั้นไม่ค่อยดีนัก ฉันต้องรู้ สมมุติว่า ฉันจะออกจากห้องขัง ฉันจะเร่ง podilnistyu 4 หนึ่งร้อยแบ่ง chotiri โดยไม่ต้องเกินและง่ายที่จะ bachiti เพื่อให้ตัวเลขดังกล่าวถูกรีดในแถวล่างเพื่อที่:

ก่อนคำพูด 18 pokhіdnu tezh สามารถแยกแยะได้จาก mirkuvan ที่คล้ายกัน:
อีกแถวมีตัวเลขซึ่งหารด้วย 4 จากส่วนเกิน 2

วิธีที่สองทางวิชาการมากขึ้นในการก่อตั้ง ระยะไซนัสі สูตรลด. Koristuyemosya สูตรสำเร็จรูป "enoi" คล้ายกับไซน์ ในจามรีจำนวนที่ต้องการจะถูกนำเสนออย่างง่าย ตัวอย่างเช่น:
(สูตรลด ) ;
(สูตรลด )

สำหรับมุมมองของเรา:

(1) เนื่องจากไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จึงสามารถ "เปลี่ยน" เป็นคาบที่ 4 ได้อย่างปลอดภัย (tobto)

ระบบPokhіdnuกับ vykonannya dvoh funktsіy สามารถทราบได้จากสูตร:

โซเครมา:

คุณไม่จำเป็นต้องจำอะไรเป็นพิเศษ เพราะยิ่งคุณรู้สูตรมากเท่าไหร่ คุณก็ยิ่งเข้าใจน้อยลงเท่านั้น เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องราว ทวินามของนิวตันสูตรของoskіlki Leibniz มีความคล้ายคลึงกับสูตรใหม่มากขึ้น โชคดีนะ จะหนีจากอันดับที่ 7 ขึ้นไปได้ยังไง (ซึ่งอย่างไรก็ตามมีขนาดเล็ก), คุณจะอาย tse robiti Vtim ถ้าดำไม่ได้ วิชาผสมผสาน- นั่นคือทั้งหมดที่เหมือนกันที่จะนำมา =)

เรารู้ฟังก์ชันที่คล้ายคลึงกันที่สาม สูตรของ Vikoristovuemo Leibnitz:

ในมุมมองนี้: . Pokhіdnіแปลได้ง่ายด้วยวาจา:

ตอนนี้ทดแทนอย่างระมัดระวังและเคารพและผลลัพธ์ที่เรียบง่าย:

วิดโพวิด:

งานที่คล้ายกันสำหรับวิสัยทัศน์ที่เป็นอิสระ:

ก้น 11

รู้หน้าที่

หากที่ก้นด้านหน้าวิธีแก้ปัญหา“ บนหน้าผาก” ยังคงแข่งขันกับสูตรไลบนิซอยู่นี่จะเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้โดยชอบธรรม และยอมรับไม่ได้มากขึ้น - ในลำดับที่ต่างออกไป แย่กว่านั้น:

ก้น 12

รู้ลำดับที่แน่นอน

วิธีการแก้: อย่างแรกและสำคัญที่สุด - หมุนแกนแบบนี้ เดี่ยวๆ ไม่จำเป็น =) =)

มาเขียนฟังก์ชันและทราบความคล้ายคลึงกันจนถึงลำดับที่ 5 กัน ฉันยอมรับว่าขั้นตอนทางด้านขวาทำให้คุณง่วง:

ที่คอลัมน์ด้านซ้ายของ "สด" สิ่งเลวร้าย "จบลง" และดียิ่งขึ้นไปอีก - ที่สูตร Leibniz การเพิ่มสามรายการจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์:

ฉันกำลังสับสนกับภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ฉันคิดในบทความเกี่ยวกับ พับpokhіdnyh: จี้ถามผล? โดยหลักการแล้ว คุณสามารถปล่อยมันทิ้งไปได้เลย - ย้อนกลับง่ายกว่า Ale vin สามารถช่วยนำวิธีแก้ปัญหามาสู่ความสามัคคี จากอีกด้านหนึ่ง การให้อภัยจากพลังแห่งความคิดริเริ่ม ฉันคุกคามพีชคณิตด้วยการให้อภัย อย่างไรก็ตามเรามีєvіdpovіd, orimana "หลัก" วิธี =) (ผกก.ส่งไปรพ.)และฉันเห็นด้วย vin ถูกต้อง:

ดีทุกอย่างเรียบร้อย

วิดโพวิด:

งานที่มีความสุขสำหรับวิสัยทัศน์ที่เป็นอิสระ:

ก้น 13

สำหรับฟังก์ชั่น:
ก) หมายถึงความแตกต่างโดยตรง;
b) รู้เบื้องหลังสูตร Leibniz;
ค) คำนวณ

สวัสดี ฉันไม่ใช่พวกซาดิสม์ - จุด "a" ที่นี่ได้รับการอภัยแล้ว

และที่จริงจังกว่านั้น วิธีแก้ปัญหา "โดยตรง" ต่อความแตกต่างสุดท้ายยังสามารถมี "สิทธิ์ในการมีชีวิต" ได้ - ในหลายวิธี การพับอาจเท่ากับการพับของสูตรไลบนิซ Vykoristovyte ราวกับว่าคุณเคารพใน dotsіlne - ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะเป็นพื้นฐานของงานเล็ก ๆ

วิธีแก้ปัญหาโดยย่อคือแสดงตัวอย่างบทเรียน

เพื่อยกย่อหน้าสุดท้ายจำเป็นต้องจำ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยาย:

การเปลี่ยนแปลงในลำดับหน้าที่ที่สูงขึ้น งานโดยปริยาย

คนรวยจากเรา vitrativ dovgіปีวันและชีวิตtizhnіบนvvchennya กิโล, พาราโบลา, อติพจน์- และบางครั้งก็ถูกลงโทษ มาแก้แค้นและสร้างความแตกต่างให้พวกเขาเหมือนร่องรอย!

Pochnemo zі "shkіlnoї" พาราโบลาถึงเธอ ค่ายตามบัญญัติ:

ก้น 14

Rivnyanya ได้รับ รู้.

วิธีการแก้: เกร็ดความรู้ดีๆ :

ฟังก์ชั่นที่їїคล้ายกับนิพจน์โดยปริยายไม่เปลี่ยนสาระสำคัญส่วนอื่น ๆ นั้นแย่กว่า - เช่นเดียวกับที่แย่กว่าที่ 1:

สร้างกฎของคุณเอง: ใช้ลำดับความสำคัญที่ 2 และสูงกว่า ผ่าน "iks" และ "iplayer" เท่านั้น. สำหรับสิ่งนั้นใน otriman 2 ลองนึกภาพ:

pokhіdnaที่สาม - є pokhіdna vіd 2-ї pokhіdnoї:

ในทำนองเดียวกัน ลองนึกภาพ:

วิดโพวิด:

"Shkilna" อติพจน์ใน ค่ายตามบัญญัติ– สำหรับงานอิสระ:

ก้น 15

Rivnyanya ได้รับ รู้.

ฉันพูดซ้ำ scho 2-y pokhіdnuและผลลัพธ์ของ vyslovit ถัดไปผ่าน "iks" / "gravets" เท่านั้น!

วิธีแก้ปัญหาโดยย่อคือแสดงตัวอย่างบทเรียน

หลังจากที่เด็ก ๆ ประหลาดใจกับภาพลามกอนาจารของเยอรมัน @ fiyu เราดูเป็นผู้ใหญ่มากขึ้นซึ่งเรารู้การตัดสินใจที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง:

ก้น 16

Elipsบุคคลที่ครอบงำ

วิธีการแก้: เรารู้จักpokhіdnuที่ 1:

และตอนนี้ มาจดจำและวิเคราะห์ช่วงเวลาที่จะมาถึง ทันทีที่เราสามารถแยกแยะ ดังนั้นเราจึงไม่ต้องเงียบ ในสภาวะของจิตใจนี้ มันง่ายมาก แต่ในความเป็นจริง คำสั่งของของขวัญดังกล่าวได้รับอำนาจสองครั้งและครั้งเดียว วิธีที่ดีที่สุดที่จะกำจัด pokhidnoy ขนาดใหญ่คืออะไร? อุซนุ! เราใช้กลอุบายแบบเดียวกันและได้รับชัยชนะอย่างเท่าเทียมกันซึ่งแม้จะเป็นที่ชื่นชอบที่ 1 ก็ตาม "แฮงค์" ในส่วนที่ละเมิด:

pokhіdnaอีกคนหนึ่งมีความผิด แต่แสดงออกผ่านสิ่งนี้และในเวลาเดียวกันเท่านั้น (ในครั้งเดียว)โผงผาง สำหรับผู้ที่อยู่ใน otriman เท่ากันเป็นไปได้:

เพื่อขจัดปัญหาทางเทคนิคส่วนใหญ่ ให้คูณส่วนที่ละเมิดโดย:

І น้อยลงในขั้นตอนสุดท้ายเราวาด drіb:

ตอนนี้เราประหลาดใจในช่วงสุดสัปดาห์ และเราสังเกตว่าผลลัพธ์เชิงลบควรได้รับการอภัย:

วิดโพวิด:

จะทราบความหมายของpokhіdnoїที่ 2 ได้อย่างไรในทุกจุด (yaka, zrozumіlo, นอนบนelіpsu)ตัวอย่างเช่น ณ จุดนั้น ? ง่ายเกินไป! Tsej แรงจูงใจแล้วzustrіchavsyaในบทเรียนเกี่ยวกับ ความเท่าเทียมกัน: ใน Virase 2 จำเป็นต้องเป็นตัวแทน :

อย่างบ้าคลั่ง ในทั้งสามวิธี คุณสามารถกำจัดหน้าที่ที่ได้รับอย่างชัดเจนและแยกความแตกต่างได้ แต่จากนั้นก็ปรับคุณธรรมให้เข้ากับการปฏิบัติด้วยสองฟังก์ชันเพื่อแก้แค้นที่ต้นตอ ในความคิดของฉัน การตัดสินใจโดยใช้ "เส้นทางโดยปริยาย" จะดีกว่า

ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับวิสัยทัศน์ที่เป็นอิสระ:

ก้น 17

รู้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยปริยาย

ข้อความของงานถูกวางไว้โดยไม่มีรูปของสูตร
หุ่นยนต์รุ่นใหม่มีอยู่ในแท็บ "ไฟล์ของหุ่นยนต์" ในรูปแบบ PDF

"Tezh me ทวินามของนิวตัน!»

จากนวนิยายเรื่อง The Master and Margarita

“ Tricutnik ของ Pascal นั้นเรียบง่ายมากจนคุณสามารถเขียนลูกทศนิยมได้ ในชั่วโมงนั้น คุณต้องซ่อนตัวในขุมทรัพย์ที่มองไม่เห็นของคุณเอง และคุณจะต้องซื้อแง่มุมต่างๆ ของคณิตศาสตร์มากขึ้น เช่นเดียวกับที่ในแวบแรก คุณอาจไม่มีอะไรจะนอนกับตัวเอง ปูพื้น อำนาจที่ไม่แบ่งแยกอนุญาตให้ใช้ Tricot ของ Pascal กับหนึ่งในแผนการที่ละเอียดอ่อนที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด "

มาร์ติน การ์ดเนอร์.

หุ่นยนต์ Meta:สูตร zagalnite ของการคูณอย่างรวดเร็ว แสดง zastosuvannya เพื่อแก้ปัญหา

ผู้จัดการ:

1) เรียนรู้และจัดระบบข้อมูลจากอาหารที่กำหนด

2) แก้โจทย์การแก้ทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของขั้นตอน

วัตถุที่จะปฏิบัติตาม:สูตรทวินาม ผลรวม และผลต่างของนิวตัน

วิธีการติดตามผล:

ทำงานกับวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ระดับประถมศึกษาและเป็นที่นิยม แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

Rozrakhunki, povnyannya, การวิเคราะห์, การเปรียบเทียบ

ความเกี่ยวข้องผู้คนมักจะถูกพาตัวไปจากงานของแม่ ซึ่งจำเป็นต้องปรับปรุงจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการเผยแพร่สิ่งของบางอย่าง หรือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการสร้างเพลง วิธีต่างๆ ของตัวเลือกชี่ ซึ่งถูกนำมาให้เลือกผู้คน จะถูกเพิ่มเข้าไปในชุดค่าผสมที่หลากหลายที่สุด І tsiliy แบ่งคณิตศาสตร์, ชื่อเรื่องของ combinatorics, ถูกครอบครองโดยการค้นหาโภชนาการที่แตกต่างกัน: ตัวอย่างทั้งหมดและชุดค่าผสมสำหรับประเภท chi іnshoy นั้น

ด้วยค่านิยมเชิงผสมผสาน ตัวแทนของความเชี่ยวชาญพิเศษต่างๆ ถูกพาไปยังมารดาที่ถูกต้องทางด้านขวา: นักวิทยาศาสตร์-นักเคมี นักชีววิทยา นักออกแบบ ดิสแพตเชอร์ ด้วยเช่นกัน มีความสนใจในคอมบิเนทอริกมากขึ้น ชั่วโมงพักผ่อนถูกครอบงำโดยการพัฒนาที่รุนแรงของไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยีการคำนวณ

รายการ

หากคุณต้องการเสริมว่าผู้พูดได้เอาชนะความซับซ้อนของวันแล้ว ดูเหมือนว่ามีข้อบกพร่อง: ฉันเป็นคนห้ามของนิวตัน! Movlyav แกนนิวตัน พับได้ แต่มีปัญหาในตัวคุณ! เกี่ยวกับทวินาม chuli navitt ของนิวตัน ผู้ที่มีความสนใจไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

คำว่า "binom" หมายถึงเลขฐานสอง tobto รวมยอดบริจาคสองรายการ สำหรับหลักสูตรของโรงเรียน ต่อไปนี้คือสูตรของตัวคูณเร็ว:

( เอ+ ข) 2 = 2 + 2ab + ข 2 , (a+b) 3 = 3 +3a 2 b+3ab 2 +ข 3 .

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตร เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน ในโรงเรียน สูตรเหล่านั้นสำหรับการแพร่กระจายเป็นทวีคูณของสี่เหลี่ยมที่ต่างกัน ผลรวม และลูกบาศก์ที่แตกต่างกันนั้นได้รับชัยชนะ กลิ่นเหม็นของขั้นตอนต่อไปคืออะไร? ดังนั้นในสูตรดังกล่าว กลิ่นเหม็นมักจะได้รับชัยชนะในการทะนุถนอมงานต่าง ๆ : เพื่อพิสูจน์ของปลอม ความเร็วของเศษส่วน ความใกล้เคียงของการคำนวณ

การพัฒนาสูตรเชิงตรรกะจะพัฒนาแนวคิดเชิงนิรนัยทางคณิตศาสตร์และสำนวนเชิงลึก

ส่วนที่ 1 สูตร BINOM ของ NEWTON

โพชธนันท์ยา ที่ їх อำนาจ

ให้ X เป็นตัวคูณที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ n ตัว ไม่ว่าจะเป็นตัวคูณย่อยของ Y ตัวคูณของ X เพื่อล้างแค้นองค์ประกอบ k ถูกเรียกโดยองค์ประกอบ k เดียวกันจาก n ด้วยสิ่งนี้ k ≤ n

จำนวนรายการที่แตกต่างกัน k องค์ประกอบ s n ถูกกำหนด 3 n k หนึ่งในสูตรที่สำคัญที่สุดของ combinatorics คือสูตรถัดไปสำหรับจำนวน n k:

Їїสามารถเขียนลงหลังจากที่เห็นได้ชัดในเร็ว ๆ นี้ในลำดับนี้:

โซเครมา

จำเป็นอย่างยิ่งต่อการที่ X จำนวนหนึ่งมีองค์ประกอบ 0 เพียงตัวเดียว - หลายส่วนที่ว่างเปล่า

ตัวเลข C n k สร้างชุดของพลังมหัศจรรย์

สูตร З n k \u003d З n - k n ถูกต้อง (3)

ความหมายของสูตร (3) ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ามันมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการไม่มี submultiples ของ k-term ทั้งหมดของ X และการไม่มี submultiples ที่เป็นสมาชิกทั้งหมด (n - k) ของ X: ถึง สร้างความแข็งแรงที่เพียงพอสำหรับผิว k-term submultiple ของ Y ใส่การเพิ่มหนึ่งตัวในตัวคูณ X

สูตรนี้ใช้ได้จริง З 0 n + З 1 n + З 2 n + ... + З n n = 2 n (4)

ผลรวม ซึ่งอยู่ที่ส่วนด้านซ้าย สะท้อนถึงจำนวนของทวีคูณย่อยทั้งหมดของ X (C0n คือจำนวนของตัวคูณย่อยที่มีพจน์ 0 ตัว C1n คือจำนวนของตัวคูณย่อยที่มีเงื่อนไขเดียว ฯลฯ)

สำหรับ k อะไรก็ตาม 1≤ k≤ n ความเท่าเทียมกันก็ยุติธรรม

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

ความหึงหวงของ Qiu เป็นเรื่องง่ายสำหรับสูตรเพิ่มเติม (1) จริง,

1.2. Visnovok ของสูตรทวินามของนิวตัน

ลองดูที่ระดับของทวินาม เป็น +ข .

n = 0, (a +ข ) 0 = 1

n = 1, (a +ข ) 1 = 1a+1ข

n = 2(+ข ) 2 = 1a 2 + 2aข +1 ข 2

n = 3(+ข ) 3 = 1 เป็ 3 + 3a 2 ข + 3aข 2 +1 ข 3

n = 4(+ข ) 4 = 1a 4 + 4a 3 ข + 6a 2 ข 2 +4aข 3 +1 ข 4

n=5(+ข ) 5 = 1a 5 + 5a 4 ข + 10a 3 ข 2 + 10a 2 ข 3 + 5aข 4 + 1 ข 5

เราเคารพกฎหมายต่อไปนี้:

จำนวนสมาชิกของสมาชิกรวยที่ถูกครอบงำนั้นเป็นอีกจำนวนหนึ่งสำหรับบ่งชี้ระดับของทวินาม

ตัวบ่งชี้ขั้นตอนของการเสริมครั้งแรกเปลี่ยนจาก n เป็น 0, ตัวบ่งชี้ของขั้นตอนของการเสริมอื่นเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น n;

ขั้นตอนของ mononomials ทั้งหมดเท่ากับขั้นตอนของทวินามสำหรับจิตใจ

Kozhen monomial - การสร้างนิพจน์แรกและนิพจน์อื่นในขั้นตอนต่าง ๆ และจำนวนสุดท้าย - สัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินาม, rіvnovіddalеnіvіdkіntsa rozkladannya, іvnі

เพื่อชี้แจงสูตรเหล่านี้ สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน:

(เอ + ข ) น = ค 0 น เอ น ข 0 + ค 1 น เอ น -1 ข + ค 2 น เอ น -2 ข 2 + ... + ค น -1 น อะบี น -1 + ค น น เอ 0 ข น . (6)

สำหรับสูตรนี้ นสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติได้

ให้เราได้สูตร (6) Nasampered มาเขียนกัน:

(เอ + ข ) น = (เอ + ข )(เอ + ข ) ... (เอ + ข ), (7)

จำนวนโค้งที่ทวีคูณ dorivnyuє น. จากกฎพิเศษของการคูณผลรวมด้วยผลรวม เป็นที่แน่ชัดว่าผลรวม (7) มีค่าควรกับผลรวมของการสร้างสรรค์ที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมด ซึ่งสามารถสรุปได้ในระดับดังกล่าว: เปรียบเสมือนการเพิ่มจากครั้งแรกจาก ผลรวม a + bคูณด้วย dodanok อื่น ๆ sumi a+bสำหรับเงินเพิ่มเติมของจำนวนเงินที่สามและอื่น ๆ

จากที่กล่าวไว้เป็นที่แน่ชัดว่าโทดันคมสำหรับ (เอ + ข ) นให้ (หนึ่งต่อหนึ่ง) แถวของส่วนหัว n พับจากตัวอักษร และข.ในช่วงกลางของสมาชิกที่คล้ายกันdodankіvzustrіchatimutsya เป็นที่แน่ชัดว่ามีการให้แถวแก่สมาชิกดังกล่าวว่าพวกเขาควรล้างแค้นให้มีจำนวนตัวอักษรเท่ากัน เอ. Ale จำนวนแถวซึ่งควรเท่ากับ k คูณตัวอักษร เอ, ดังนั้น З n k . Otzhe ผลรวมของสมาชิกทั้งหมด เพื่อแทนที่ตัวอักษร a ด้วยตัวคูณเท่ากับ k ครั้ง dorіvnyuє C n k เอ น - k ข k . ชาร์ด k สามารถใช้ค่า 0, 1, 2, …, n-1, n จากนั้นสูตร (6) จะติดตามเรา ขอแสดงความนับถือ (6) สามารถเขียนให้สั้นลงได้: (8)

ต้องการเรียกสูตร (6) หลังนิวตัน มันเป็นที่รู้จักก่อนนิวตัน (เช่น รู้จัก Pascal) บุญของนิวตันอยู่ในความจริงที่ว่าเขารู้สูตรที่แน่นอนสำหรับข้อบ่งชี้ต่างๆ เดียวกัน I. นิวตันในปี 1664-1665 สูตรvivіv, scho vrazhaєstupіn binomial สำหรับปืนลูกซองdovіlnyและpokaznіvเชิงลบ

ตัวเลข 0 n , C 1 n , ... , C n n ซึ่งรวมอยู่ในสูตร (6) มักจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

จากสูตร (6) เราสามารถใช้พลังงานต่ำของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้ ตัวอย่างเช่น ขอแสดงความนับถือ เอ=1, b = 1, เราใช้:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

tobto สูตร (4). ใส่ Yakshcho เอ= 1, b = -1 จากนั้นคณิตศาสตร์:

0 = Z 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

หรือ C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Tse หมายความว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมาชิกที่จับคู่ของโครงร่างนั้นมากกว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมาชิกที่ไม่มีคู่ของเลย์เอาต์ สกินแคร์ 2 n -1 .

สัมประสิทธิ์ของสมาชิกในระยะห่างของเงื่อนไขการแจกแจง เท่ากับ ราคาของพลังงานคือ vyplyvaє іz spіvvіdnoshennia: З n k = З n n - k

Tsіkaviy okremy vipadok

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

หรือสั้นกว่า (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. ทฤษฎีบทพหุนาม

ทฤษฎีบท.

การพิสูจน์.

ดังนั้นหลังจากเปิดส่วนโค้งของโมโนเมียล viyshov จำเป็นต้องเลือกส่วนโค้งเหล่านั้นซึ่งจะใช้ส่วนโค้งเหล่านี้ซึ่งจะใช้ ฯลฯ และคันธนูซึ่งพวกเขาถูกพรากไป สัมประสิทธิ์ที่ให้โมโนเมียลหลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกันในหลายวิธีที่สามารถเลือกได้ การถักโครเชต์ครั้งแรกของลำดับการเลือกสามารถทำได้โดยวิธี การถักโครเชต์แบบอื่น - , การถักโครเชต์ครั้งที่ 3 เป็นต้น การโครเชต์ครั้งที่ - โดยทนายความ ค่าสัมประสิทธิ์ Shukaniy สำหรับงานสร้างสรรค์

ROZDIL 2 คำสั่งซื้อที่ดีที่สุดถัดไป

ทำความเข้าใจกับระบบPokhіdnih Vishchih

ให้ฟังก์ชันสร้างความแตกต่างในช่วงเวลาการร้องเพลง Todi їїpokhіdna, ดูเหมือนvzagalі, โกหกใน Xนั่นคือหน้าที่ของ X. Otzhe ไม่ใช่อีกแล้วคุณสามารถใส่อาหารบนพื้นฐานของอาหารที่ดีได้

การนัดหมาย . Pokhіdnaเป็นpokhіdnoїแรกเรียกว่า คล้ายกับคำสั่งอื่นหรือคำสั่งอื่นที่คล้ายคลึงกันจะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์เป็นอย่างอื่น tobto

การนัดหมาย . Pokhіdnaเหมือนpokhіdnoїอื่นเรียกว่าpokhіdnoyของลำดับที่สาม แต่pokhіdnoyที่สามจะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ abo

การนัดหมาย . โปฮิดนี่น คำสั่งฟังก์ชั่น เรียกว่า persha pokhіdnaใน vid pokhіdnoї (น -1) -ลำดับที่ ฟังก์ชั่น i แสดงด้วยสัญลักษณ์ abo:

การนัดหมาย . Pokhіdnіสั่งสูงกว่าครั้งแรกเรียกว่า พบสิ่งที่เลวร้ายที่สุด

เคารพ. ในทำนองเดียวกันคุณสามารถใช้สูตร นฟังก์ชั่นความสนุก:

ฟังก์ชันกำหนดพารามิเตอร์ที่คล้ายกันอีกตัวหนึ่ง

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดยเท่ากับ ความสำคัญของฟังก์ชันที่คล้ายคลึงกันในลำดับที่แตกต่างกันจะต้องถูกทำให้แตกต่างก่อนและสำคัญที่สุด เป็นฟังก์ชันพับของตัวแปรอิสระ

จามเลย

นั่นคือ urahuvannyam ที่ scho,

เอามาลงกันเถอะ

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถรู้วิธีที่สาม

ซูมิดิฟเฟอเรนเชียล สร้างความเป็นส่วนตัวนั้น

เนื่องจากดิฟเฟอเรนเชียลมาจากการคูณที่คล้ายคลึงกันกับดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ ดังนั้น เมื่อทราบความคล้ายคลึงกันของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก เช่นเดียวกับกฎสำหรับการสังเกตของส่วนหลัง เราสามารถพัฒนากฎที่คล้ายกันสำหรับการตรวจสอบดิฟเฟอเรนเชียล

1 0 . ค่าคงที่ส่วนต่างเป็นศูนย์.

2 0 . ผลรวมเชิงอนุพันธ์ของพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัด .

3 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลเพื่อสร้างฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่าง ผลรวมเชิงสร้างสรรค์ของฟังก์ชันแรกไปยังค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันอื่น และฟังก์ชันอื่นๆ ที่ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแรก .

ผลที่ตามมา. ตัวคูณคงที่สามารถตำหนิสำหรับเครื่องหมายของส่วนต่าง

2.3. ฟังก์ชั่น, งานตามพารามิเตอร์, ความแตกต่างของїхнє

การนัดหมาย . ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าเป็นพารามิเตอร์ซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูถูก X і หน้าที่ของผิวหนังถูกกำหนดให้เป็นหน้าที่ที่ชัดเจนในรูปแบบของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันและเพิ่มเติม - พารามิเตอร์t :

เดอt เปลี่ยนที่ชายแดน

เคารพ . มากำหนดตำแหน่งพาราเมตริกของสเตคและวงรีกัน

ก) คอลัมน์ที่มีจุดศูนย์กลางบน cob ของพิกัดและรัศมี r maєการจัดตำแหน่งพารามิเตอร์:

b) มาเขียนการจัดตำแหน่งพาราเมตริกสำหรับจุดไข่ปลากัน:

ปิดตัวเลือก tจากเส้นพาราเมตริกของการวิเคราะห์เส้น คุณสามารถพัฒนาเส้นที่ยอมรับได้

ทฤษฎีบท . ทำหน้าที่อะไร y พิมพ์อาร์กิวเมนต์ x ถูกกำหนดเป็นพาราเมตริกโดยเท่ากับ, de i แตกต่างโดยt ฟังก์ชั่นตาแล้ว

2.4. สูตรไลบนิซ

สำหรับ znakhodzhennya น- ลำดับที่ความแตกต่างระหว่างสองฟังก์ชัน ค่าที่ใช้งานได้จริงมากที่สุดคือสูตร Leibniz

มาเร็ว ยูі วี- ฟังก์ชั่นที่ใช้งานในรูปแบบของการเปลี่ยนแปลง X, ที่แย่กว่านั้น จะเป็นไปในทางไหนก็ได้ y = ยูวี. วิสโลวิโม น- การสูญเสียที่เกิดจากฟังก์ชั่นที่หายไป ยูі วี .

อาจจะตามลำดับ

มันง่ายที่จะสังเกตความคล้ายคลึงระหว่าง virase สำหรับรูปแบบอื่นและที่สามและที่คล้ายกันของทวินามของนิวตัน มันคล้ายกับขั้นตอนอื่น ๆ และขั้นตอนที่สาม แต่แทนที่จะแสดงขั้นตอน มีตัวเลขที่ระบุลำดับของการกลับกัน และฟังก์ชันเหล่านี้ถือได้ว่าเป็น "ศูนย์ลำดับศูนย์" Vrakhovuychi tse เราใช้สูตร Leibniz:

สูตร Qiu สามารถทำได้โดยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ส่วนที่ 3 คำชี้แจงของสูตรลิบนิท

สำหรับการคำนวณการคำนวณที่คล้ายคลึงกันไม่ว่าจะเรียงลำดับอย่างไรขึ้นอยู่กับสองฟังก์ชันที่ข้ามไปสูตรการคำนวณในทางกลับกันขึ้นอยู่กับการละเมิดของสองฟังก์ชันคือ สูตรไลบนิซ.

สำหรับสูตรเพิ่มเติม ให้ดูที่การคำนวณลำดับที่ n ของสองฟังก์ชันต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

รู้ลำดับของฟังก์ชันอื่น

Vіdpovіdnoจนถึงนัดเพื่อนก็ดี - คนแรกก็ดีสำหรับคนแรกดังนั้น

เรารู้ลำดับแรกคล้ายกับฟังก์ชันที่กำหนด กฎแห่งความแตกต่างและผู้ชนะ ตารางสุดท้าย:

ตอนนี้เรารู้คำสั่งแรกpokhіdnuกับpokhіdnoї Tse จะเป็น shukana ในลำดับที่ต่างกัน:

คำแนะนำ:

ก้น 2

รู้ลำดับฟังก์ชันถัดไป

วิธีการแก้.

เราจะรู้ลำดับถัดไป สอง สาม และอื่นๆ ตามลำดับขนาดของฟังก์ชันที่กำหนด เพื่อสร้างความสม่ำเสมอ เพื่อให้คุณสามารถบอกฟังก์ชันถัดไปได้

ไปตำกันก่อน รู้ยัง ไปเป็นส่วนตัว:

ที่นี่ viraz เรียกว่าแฟกทอเรียลของตัวเลข แฟกทอเรียล

Pokhіdnaของคำสั่งที่แตกต่างกัน, อันแรก, อันแรก, อันแรก, นั้น

Pokhіdnaลำดับที่สาม:

ที่สี่เป็นสิ่งที่ดี:

เราเคารพความสม่ำเสมอ: ตัวเศษมีแฟคทอเรียลของตัวเลข ซึ่งคล้ายกับลำดับที่แย่กว่า และใน znamennik ขั้นตอนนั้นเป็นอีกขั้นหนึ่ง ยิ่งลำดับต่ำยิ่งดี ดังนั้น

วิดโพวิด.

ตัวอย่างที่ 3

ทราบค่าของฟังก์ชันที่คล้ายคลึงกันที่สาม ณ จุดหนึ่ง

วิธีการแก้.

ซิดโน ตารางคำสั่งที่สูงขึ้นที่คล้ายกัน, อาจจะ:

ที่ก้นที่เห็นก็ถ่าย

ด้วยความเคารพ ให้คำนึงถึงผลลัพธ์ดังกล่าวแม้ว่าผลลัพธ์ที่ตามมาจะคล้ายกันก็ตาม

ที่งาน จุดที่สามมีราคาแพงกว่า:

คำแนะนำ:

ตัวอย่างที่ 4

รู้จักฟีเจอร์โปรดของเพื่อน

วิธีการแก้.สำหรับซังเรารู้จัก pershu pokhіdnu:

เพื่อจุดประสงค์ในการทราบกรณีอื่นที่คล้ายคลึงกัน มันคือการสร้างความแตกต่างของ virase สำหรับกรณีแรกที่คล้ายกันอีกครั้ง:

คำแนะนำ:

ตัวอย่างที่ 5

รู้นะ ยักโช

เนื่องจากฟังก์ชันได้รับ є tver สองฟังก์ชัน ดังนั้นค่าของฟังก์ชันที่คล้ายกันอันดับที่สี่จะเพิ่มลงในสูตร Leibniz:

เรารู้แต่สิ่งดีๆ และเรากลัวสัมประสิทธิ์กับการเพิ่มเติม

1) Porahuєmocoefіtsієntiกับ dodanki:

2) เรารู้หน้าที่ที่คล้ายกัน:

3) เรารู้หน้าที่ที่คล้ายกัน:

คำแนะนำ:

ตัวอย่างที่ 6

จากฟังก์ชัน y=x 2 cos3x รู้เคล็ดลับของลำดับที่สาม

ให้ u=cos3x, v=x 2 . เช่นเดียวกับสูตร Leibnitz ที่เรารู้:

Pokhіdnіที่คุณอาจมอง:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)''=2,

(x2)'''=0.

Otzhe ฟังก์ชันที่กำหนด pokhіdna ที่สามมีราคาแพงกว่า

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

ตัวอย่างที่ 7

รู้จักโภคีธนุน - ฟังก์ชั่นคำสั่งที่ y=x 2 cosx.

เร่งความเร็วด้วยสูตร Leibnitz พิจารณาu=cosx, v=x 2 . โทดี

สมาชิกรายอื่นในซีรีส์เท่ากับศูนย์ ชาร์ด(x2)(i)=0 สำหรับ i>2

โภกิจนา - ฟังก์ชันโคไซน์ลำดับที่:

Otzhe, pokhіdnaหน้าที่ของเราดี

วิสโนโวค

ที่โรงเรียน สูตรคูณอย่างรวดเร็วต่อไปนี้จะบิดเบี้ยวและมีชัย: กำลังสองและผลรวมและผลรวมของสองผลรวม และผลรวมและผลรวมของผลบวกของผลบวกสองผล และผลรวมของผลบวกสองจำนวน สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน และสูตรสำหรับการขยายผลรวมและผลต่างของขั้นตอนเป็นทวีคูณ ตัวเลขของสูตรมักจะถูกเอาชนะที่ด้านบนของวัน: เพื่อพิสูจน์ความปลอม ความสั้นของเศษส่วน ความใกล้เคียงของการคำนวณ พลังของนักเล่นกลหรือนักเล่นกลของ Pascal ถูกจับตามอง เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทวินามของนิวตัน

หุ่นยนต์ได้จัดระบบข้อมูลในหัวข้อ ใช้งานการตั้งค่าทวินามของนิวตันและสูตรของผลรวมและความแตกต่างของขั้นตอน หุ่นยนต์สามารถเป็น vikoristan ที่กลุ่มคณิตศาสตร์หุ่นยนต์เช่นเดียวกับการศึกษาตนเองของ timis ซึ่งตะลุยคณิตศาสตร์

รายการชัยชนะของ DZHEREL

1. Vilenkin N. Ya. Combinatorics.- มุมมอง "วิทยาศาสตร์". - ม., 2512

2. Nikolsky S.M. , Potapov M.K. , Reshetnikov N.M. , Shevkin A.V. พีชคณิตและซังของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: นวช. สำหรับzagalnosvіt การจัดระเบียบพื้นฐานและการฝังศพของแม่น้ำ - M .: Prosvitnitstvo, 2014. - 431 p.

3. การแก้ปัญหาของสถิติ, วิทยาการเชิงผสมและทฤษฎีของ imovirnosti. 7-9 เซลล์ / ผู้แต่ง - styler V.M. สตูเดเนตสก้า - ดู. ครั้งที่ 2 - โวลโกกราด: Vchitel, 2009

4. Savushkina I.A. , Khugaev K.D. , Tishkin S.B. การจัดตำแหน่งพีชคณิต ก้าวที่สูงขึ้น/ แนวทางปฏิบัติสำหรับการได้ยินของนักศึกษาภาควิชาการฝึกอบรมระหว่างมหาวิทยาลัย - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544

5. Sharigin I.F. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา วิธีใช้หัวเรื่องสำหรับ 10 เซลล์ โรงเรียนมัธยม - ม: Prosvitnitstvo, 1989.

6.วิทยาศาสตร์กับชีวิต ทวินามของนิวตันและทริคอตของปาสกาล[ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]. - โหมดการเข้าถึง: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

สูตรไลบนิซสำหรับ จำนวน n-thการปฏิบัติที่คล้ายคลึงกันของสองหน้าที่ หลักฐาน Nadano їїในสองวิธี ดูก้นการคำนวณลำดับที่ n

Zmist

ดิวิชั่น อีกด้วย: หุ่นยนต์Pokhіdnaสองหน้าที่

สูตรไลบนิซ

สำหรับความช่วยเหลือของสูตร Leibniz คุณสามารถคำนวณการสูญเสียคำสั่งที่ n ในสองฟังก์ชัน วอห์นอาจมีลักษณะเช่นนี้:
(1) ,
เดอ
- สัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินามพร้อมสัมประสิทธิ์การแจกแจงทวินามสำหรับขั้นตอน i:
.
ดังนั้นตัวเลขก็คือจำนวนวันเดียวกัน s n k .

หลักฐานของสูตรไลบนิซ

มาหาสูตรสำหรับการปรับปรุงสองหน้าที่กัน:
(2) .
เราเขียนสูตร (2) ใหม่ในลักษณะดังกล่าว:
.
ดังนั้นเราจึงทราบว่าฟังก์ชันหนึ่งฝากไว้ในรูปแบบของการเปลี่ยนแปลง x และอีกฟังก์ชันหนึ่ง - ในรูปแบบของการเปลี่ยนแปลง y ตัวอย่างเช่น เราเคารพ rozrahunka สูตรก่อนหน้าสามารถเขียนได้ดังนี้:
(3) .
ชาร์ดจะคล้ายกับผลรวมของสมาชิก และสมาชิกสกินคือการเพิ่มสองฟังก์ชัน จากนั้นการคำนวณลำดับความสำคัญที่สูงขึ้น คุณสามารถ zastosovuvat กฎ (3) ตามลำดับได้

เหมือนกันสำหรับลำดับที่ n ที่คล้ายกันอาจจะ:

.
สูตร Vrahovyuchi, scho และ mi orimuemo Leibniz:
(1) .

พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ

ให้เราพิสูจน์สูตร Leibniz โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

อีกครั้งที่เราเขียนสูตร Leibniz:
(4) .
สำหรับ n = 1 เป็นไปได้:
.
สูตรนี้คล้ายกับการปฏิบัติของสองฟังก์ชัน วอนพูดถูก

สมมติว่าสูตร (4) ใช้ได้กับลำดับที่ n ที่คล้ายกัน แสดงว่าใช้ได้สำหรับ n+ . ที่คล้ายกัน 1 ลำดับที่

ดิฟเฟอเรนเชียล (4):
;



.
พ่อเรารู้ว่า:
(5) .

ลองใส่มันใน (5) และเราสามารถพูดได้ว่า:

.
จะเห็นได้ว่าสูตร (4) สามารถมีรูป i เหมือนกัน สำหรับ n + . ที่ใกล้เคียงกัน 1 ลำดับที่

ต่อมา สูตร (4) ใช้ได้กับ n = 1 . กังวลสิ่งที่ได้รับรางวัลสำหรับเลขทศนิยม n \u003d m 1 .
สูตรไลบนิซเสร็จเรียบร้อยแล้ว

ก้น

แจกแจงฟังก์ชันสุ่มที่ n
.

มาแก้สูตรไลบนิซกันเถอะ
(2) .
ตามใจเรา
;
.

หลังโต๊ะของแม่ล่าสุด:
.
พลัง Zastosovuєmoของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
.
โทดี
.
จะเห็นได้ว่าความแตกต่างของฟังก์ชันไซน์ถูกนำมาถึง zsuv บน โทดี
.

เรารู้หน้าที่ที่คล้ายกัน
;
;
;
, .

Oskіlkiที่ จากนั้นสูตร Leibniz มีคำศัพท์แรกมากกว่าสามคำในรูปของศูนย์ เรารู้ว่าbіnomnіkoefіtsієnti
;
.

สำหรับสูตรไลบนิซ เราสามารถ:

.

ดิวิชั่น อีกด้วย: