Pielietoto uzdevumu skaits tiek samazināts līdz integrāļa aprēķinam, pretējā gadījumā nav iespējams precīzi izstrādāt. Dažreiz integrāļa integrāļa vērtības ir jāzina ar precizitāti, piemēram, līdz tūkstošdaļai.

Ir problēma, ja jūs zināt tuvākās integrāļa vērtības ar nepieciešamo precizitāti, tad varat izveidot skaitlisko integrāciju, piemēram, Simpsona metodi, trapecveida, rektokutāno. Ne visas epizodes ļauj to interpretēt ar pedantisku precizitāti.

Šajā rakstā aplūkota Ņūtona-Leibnica formulas stagnācija. Tas ir nepieciešams precīzai integrāļa aprēķināšanai. Tiks sniegti ziņojumi, pārbaudīti integrāļa mainīgā aizvietotāji un atrastas integrāļa vērtības ar integrētajām daļām.

Ņūtona-Leibnica formula

Viznachennya 1

Ja funkcija y = y (x) ir nepārtraukta ar griezumu [a; b ] , un F (x) ir viena no šīs sadaļas pirmās kārtas funkcijām Ņūtona-Leibnica formula ciena godīgu. Rakstīsim šādi: ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .

Qiu formula tiek ievērota integrāļa aprēķina pamatformula.

Lai pabeigtu šo formulu, ir jāsaprot integrāļa jēdziens ar acīmredzamu mainīgu augšējo robežu.

Ja funkcija y = f (x) ir nepārtraukta ar griezumu [a; b], tad argumenta x ∈ a vērtība; b un integrālis izskatās kā ∫ a x f (t) d t, un to ietekmē augšējās robežas funkcija. Ir jāpieņem piešķirtā funkcija, kā šķiet ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , tā ir nepārtraukta, un tā nav vienāda ar formu ∫ a x f (t) d t = Φ "(x) = f ( x) .

Ir fiksēts, ka pieaugošā funkcija Φ (x) norāda uz palielinātu argumentu ∆ x, ir nepieciešams ātri izmantot dziedošā integrāļa piekto galveno jaudu un to atcelt

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆ x

de vērtība c ∈ x; x + ∆x.

Fiksējam skata greizsirdību Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . Šīs funkcijas vērtībām ir jāiet uz robežu pie ∆ x → 0, tad mēs varam iegūt formulu formā Φ "(x) = f (x). paplašināts uz [a;b] Pretējā gadījumā mēs varam rakstīt

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C de C vērtība ir nemainīga.

Aprēķināsim F(a) no integrāļa pirmās ass viskostaniem. Tātad tas ir skaidrs

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a af (t) d t + C = 0 + C = C, tāpēc varam teikt, ka C = F (a). Rezultāts ir nemainīgs, aprēķinot F (b), un to var noņemt:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), pretējā gadījumā šķiet, ka F (b) = ∫ abf (t) dt + F ( a) . Centieties pabeigt Ņūtona-Leibnica formulu ∫ a b f(x) d x + F(b) - F(a)

Funkcijas pieaugumu pieņem kā F x a b = F(b) - F(a). Sekojot Ņūtona-Leibnica formulas papildu nozīmei, tā izskatās šādi: ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Lai formulētu formulu, noteikti ir jāzina viena no integrālfunkcijas y = f(x) primārajām funkcijām y = F(x) no sadaļas [a; b ], aprēķiniet pieaugumu pirmajā rindā no šīs sadaļas. Apskatīsim vairākas aprēķinu lietojumprogrammas, Vikorista formulu un Ņūtona-Leibnica formulu.

1. dibens

Aprēķiniet integrāļa integrāli ∫ 1 3 x 2 d x, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.

Lēmums

Apskatīsim, ka formas y = x2 integrāļa funkcija ir nepārtraukta ar griezumu [1; 3], un arī ir integrēts šajā sadaļā. Saskaņā ar nevērtīgo integrāļu tabulu ir svarīgi, lai funkcijai y = x 2 nebūtu prioritātes aktīvajām x vērtībām, kas nozīmē x ∈ 1; 3 var uzrakstīt kā F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Ir jāņem primārais s = 0 un tad ir skaidrs, ka F (x) = x 3 3 .

Izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs redzam, ka integrāļa aprēķins ir ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Temats:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

2. dibens

Aprēķiniet integrāļa integrāli ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.

Lēmums

Funkcija ir iestatīta kā nepārtraukta ar pārtraukumu [-1; 2], tagad tas ir integrēts. Nepieciešams zināt nenovērtētā integrāļa ∫ x · ex 2 + 1 dx vērtību, izmantojot diferenciāļa zīmes papildu summēšanas metodi, tad varam noņemt ∫ x · ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.

Nav primāro funkciju y = x · e x 2 + 1, kas būtu derīgas visiem x, x ∈ - 1; 2.

Ir nepieciešams ņemt pirmo pie C = 0 un formulēt Ņūtona-Leibnica formulu. Tad mēs to izņemam no redzesloka

∫ - 1 2 x · ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Temats:∫ — 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3–1)

3. dibens

Aprēķiniet integrāļus ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Lēmums

Vidrazoks - 4; - 1 2 runāt par tiem, kurus funkcija, kas atrodas zem integrāļa zīmes, tāpēc integrē bez pārtraukuma. Mēs to zinām bez primārajām funkcijām y = 4 x 3 + 2 x 2. Teiksim tā

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Ir jāņem sākotnējais F (x) = 2 x 2 - 2 x un tad, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs varam iegūt integrāli, kas ir aprēķināms:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Mēs veicam pāreju pirms cita integrāļa aprēķināšanas.

Z griezums [-1; 1 ] iespējams, ka integrāļa funkcija tiek uzskatīta par nesaistītu, jo lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , tad parādās zvaigzne, kas prasa garīgu integrāciju no skata . Tad F(x) = 2 x 2 - 2 x nav primārais y = 4 x 3 + 2 x 2 no sadaļas [-1; 1 ], no punkta O fragmentiem veiciet griezumu, bet neieejiet norādītajā zonā. Nu, šis ir slavenais Rīmaņa un Ņūtona-Leibnica integrālis funkcijai y = 4 x 3 + 2 x 2 ar sekciju [-1; 1].

Versija: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,є vienkāršs Rīmaņa un Ņūtona-Leibnica integrālis funkcijai y = 4 x 3 + 2 x 2 no sadaļas [-1; 1].

Pirms Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanas ir precīzi jāzina integrāļa pamats.

Mainīgā aizstāšana dziedošajā integrālī

Ja funkcija y = f (x) ir nepārtraukta un nepārtraukta [a; b], tad tas acīmredzami ir bezpersonisks [a; b] svarīgs ir segmentam α piešķirtās funkcijas x = g (z) vērtības apgabals; β ar acīmredzamu nepārtrauktu gājienu, kur g (α) = a un g β = b, mēs to varam noņemt no šejienes, ko? a b f (x) d x = ?

Formula ir dota, ja nepieciešams aprēķināt integrāli a b f (x) d x , un nevērtībām integrālis izskatīsies kā ∫ f (x) d x , ko var aprēķināt, izmantojot papildu aizstāšanas metodi.

4. dibens

Aprēķināt integrāļa integrāli formā ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Lēmums

Integrāļa funkcija tiek veikta nepārtraukti integrācijas sadaļas laikā, un pēc tam nākamais integrālis ieņem tās vietu. Damo, kas nozīmē, ka 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Vērtība x = 9 nozīmē, ka z = 2 9 - 9 = 9 = 3, un, ja x = 18, tiek secināts, ka z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, tad g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Aizstājot y vērtību, tiek noņemta formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z, tāpēc

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 " dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 z 3 2 + 9 dz

Pēc nevērtīgo integrāļu tabulas var secināt, ka no pirmajām funkcijām 2 z 2 + 9 iegūst vērtību 2 3 a r c t g z 3. Tad, izmantojot stagnējošo Ņūtona-Leibnica formulu, mēs to varam secināt

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 3 3 3 3 = 2 3 3 3

Aprēķinu var veikt, neizmantojot Vikori formulu ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Ja izmanto vikorista integrāļa aizstāšanas metodi ar formu ∫ 1 x 2 x - 9 d x , var iegūt rezultātu ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ir aprēķināmi aprēķini, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķina integrāli. Teiksim tā

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 4 - π = π 18

Rezultāti ir uzlabojušies.

Versija: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrācija pa daļām saskaņā ar integrāļa integrāļa aprēķināšanas stundu

Jaksto uzkodai [a; b ] vērtīgas un nepārtrauktas funkcijas u (x) un v (x) , tad to līdzīgās pirmās kārtas funkcijas v "(x) u (x) ir integrētas, tātad šī ir apakšsadaļa integrētajai funkcijai u "(x ) · v (x) greizsirdība ∫ abv "(x) · u (x) dx = (u (x) · v (x)) ab - ∫ abu "(x) · v (x) dx ir godīga.

Formulu var labot, bet ir jānovērtē integrālis a b f (x) d x, un ∫ f (x) d x jāmeklē papildus integrācija pa daļām.

5. dibens

Aprēķināt integrāļa integrāli ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Lēmums

Funkcija x · sin x 3 + π 6 ir integrēta apakšnodaļā - π 2; 3 π 2 nozīmē, ka nav pārtraukumu.

Pieņemsim, ka u (x) = x, tad d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + π 6 dx un d (u (x)) = u "(x) dx = dx a v (x) = - 3 cos 3 + 6 . 3 formulas ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x ir izslēgts, tāpēc

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - grēks - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Atrisinājumu mucai var atlaist ar citu pakāpi.

Atrodiet primāro funkciju identitāti x · sin x 3 + π 6, izmantojot papildu integrāciju pa daļām no Ņūtona-Leibnica formulas formulējuma:

∫ x · sin xx 3 + π 6 dx = u = x , dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Versija: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ja tekstā esat atzīmējis labvēlību, lūdzu, skatiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Nesenie augstākā līmeņa notikumi

Šajā nodarbībā mēs iemācīsimies noskaidrot svarīgākos soļošanas veidus, kā arī pierakstīsim šāda veida gājiena slepeno formulu. Turklāt Leibnica formula tiks uzskatīta par līdzīgu skaitliskajām - līdzīga augstākām kārtām netieši norādīta funkcija. Iesaku nokārtot mini testu:

Ass funkcija: Un ass un priekšpuse kustas:

Ja jums ir kādas grūtības/nepamatotas problēmas ar disku, lūdzu, sāciet ar diviem mana kursa pamatrakstiem: Kā es varu zināt, kur doties?і Līdzīgi salocīšanas funkcijai. Pēc pamatprasmju apguves iesaku izlasīt nodarbību Vienkāršākās militārās operācijas, kur apprecējāmies, paskatīsimies Vēl viens.

Nav svarīgi, vai uzminējāt, ka otrs ir līdzīgs pirmajam:

Principā es gribētu cienīt savu draugu pēc iespējas labāk.

Līdzīgi: trešais gājiens ir tāds pats kā 2. marts:

Ceturtais marts ir tāds pats kā 3. marts:

Ir laiks doties: , un ir acīmredzams, ka visi augstāko kārtu pēcnācēji arī ir vienādi ar nulli:

Praksē romiešu numerācija bieži izmanto šādus apzīmējumus:
, līdzīgi kā “atšķirīgā” secība tiek apzīmēta, izmantojot . Šajā gadījumā virsbūves indekss ir cieši jānovieto priekšgalā.- apturēt gājienu no pasaules “gravitācijas”.

Dažreiz parādās šāds ieraksts: - Trešā, ceturtā, piektā, ..., “Henna” katru dienu.

Uz priekšu bez bailēm un šaubām:

1. dibens

Funkcija ir dota. Zināt.

Lēmums: Ko lai saka... - uz priekšu uz ceturto martu :)

Sitienus likt vairs nav pieņemts, tāpēc pārejam uz skaitliskiem indeksiem:

Vidpovid:

Labi, un tagad padomāsim par šo ēdienu: ko mums darīt, ja mums jāzina nevis 4, bet, piemēram, 20? Iepakojums gājienam 3-4-5 (maksimums 6-7) Kad būs pieņemts lēmums beigt gavēni, mēs tuvākajā laikā netiksim pie pēdējā lieliskā pasūtījuma. Īsti nepierakstiet 20 rindas! Šādā situācijā ir jāanalizē vairāki līdzīgi atklājumi, jāizstrādā modelis un jāprecizē šīs pieejas formula. Tādējādi pieteikumā Nr. 1 ir viegli saprast, ka ar ādas diferenciāciju eksponenta "viskovitāte" priekšā ir papildu "trīs", un katrā ziņā "trīs" stadija ir saistīta ar tas pats:

De ir dabiskāks skaitlis.

Ja tā, tad tas ir tieši pirmais marts: , Kaut kas 2-a: i utt. Tādā veidā divdesmit gājiens iezīmējas ar tikšanos: – un ikgadējais “kilometru posms”!

Spēlē patstāvīgi:

2. dibens

Ziniet funkcijas. Pierakstiet soļošanas sistēmu

Risinājums un nodarbības noslēgums.

Pēc laba treniņa mēs to aplūkosim tuvāk saliekamie krājumi,Kādos gadījumos tiek pielietots risinājuma algoritms. Tim, kurš nāca klajā ar stundu? Starp secībām, tas būs nedaudz vieglāk:

3. dibens

Ziniet funkcijas.

Lēmums: Lai noskaidrotu situāciju, noskaidrosim dažus cilvēkus:

Nav steigas reizināt skaitļus! ;-)


Varbūt, pabeidz. ...Mazliet par daudz.

Nākamajā solī vislabāk ir izveidot “jaunās” kampaņas formulu (ja tas neprasa inteliģenci, tad var iztikt ar mazu melnu). Šim nolūkam ir iespējams redzēt rezultātus un atklāt modeļus, kādos tiek ietekmēta āda.

Pirmkārt, tas smird. Rinda tiks nodrošināta "mirgojoša gaisma", Un 1. kampaņas fragmenti ir pozitīvi, tad es izmantošu šādu formulu, lai noņemtu aizskarošu reizinātāju: . Ir līdzvērtīga iespēja, bet jo īpaši man kā optimistam patīk pluszīme =)

Citiem vārdiem sakot, skaitļu smalcinātājs tiks sabojāts faktoriāls, un rinda “pieceļas” līdz tās pašas vienības numuram:

Un, treškārt, skaitlis aug “divu” līmenī, kas ir vienāds ar soļojošo skaitli. To pašu var teikt par banera soli. Atlikušais:

Pārbaudes nolūkā aizstāsim dažas nozīmes “en”, piemēram, i:

Tas ir brīnišķīgi, tagad sāksies žēlastība - tas ir tikai grēks:

Vidpovid:

Vienkārša funkcija atsevišķam dzīvsudrabam:

4. dibens

Ziniet funkcijas.

ES tev pateikšu:

5. dibens

Ziniet funkcijas.

Atkārtosim darbību secību vēlreiz:

1) No sākuma mēs zinām dažus upurus. Lai noķertu modeļus, zvaniet trīs vai četrus.

2) Tad iesaku salocīt (Es gribētu to melnā krāsā) Es pametīšu “Ennu” - tas ir garantēti pasargāts no žēlastības. Bet jūs varat iztikt bez tā. izdomā idejas un uzreiz pieraksti, piemēram, divdesmito vai astoto martu. Turklāt šie cilvēki sāka dzīvot mierā un klusumā. Tomēr atcerieties, ka “zviedru” ceļi ir bīstami, un labāk rīkojieties droši.

3) Pēdējā posmā mēs pabeidzam “jaunās” pieejas pārbaudi - mēs ņemam “en” vērtību pāri (konkrētāk, kuģiem) un pabeidzam aizstāšanu. Un vēl ticamāk ir iepriekš pārbaudīt visus atklājumus. Pēc tam mēs, piemēram, ieviešam prasības prasībā vai rūpīgi aprēķinām rezultātu.

Īsi 4 un 5 pieteikumu risinājumi nodarbības beigās.

Dažos gadījumos, lai izvairītos no problēmām, jums ir nedaudz jāpiestrādā pie funkcijas:

6. dibens

Lēmums: Es nemaz nevēlos atšķirt piešķirto funkciju, jo rezultāts būs “sapuvuši” atkritumi, kas ļoti sarežģīs gaidāmās kampaņas nākotni.

Kura sakarā pilnībā vikonēta frontes transformācija: vikoristamo kvadrātu starpības formulaі jauda uz logaritmu :

Pilnīgi pa labi:

Es vecie draugi:

Es domāju, ka viss ir redzams. Atcerieties, ka otra zīme ir atzīmēta, bet pirmā nav. Mēs veidojam ceļošanas sistēmu:

Kontrole:

Skaistuma labad mēs ņemam vērā roku faktoriālu:

Vidpovid:

Tsikaves rūpnīca neatkarīgiem sasniegumiem:

7. dibens

Pierakstiet funkcijas secības formulu

Un tagad par neaizskaramo savstarpējo atbildību, ar kādu jūs sagaidīs itāļu mafija:

8. dibens

Funkcija ir dota. Zināt

Astoņpadsmitais gājiens ir punktā. Usyogo.

Lēmums: acīmredzot jums tas ir jāzina uzreiz. Iesim:

Mēs sākām no sinusa, mēs nonācām pie sinusa. Ir skaidrs, ka ar tālāku diferenciāciju šis cikls turpināsies bezgalīgi, un radīsies uztura sākums: kāds ir ātrākais veids, kā “sasniegt” līdz astoņpadsmitajam martam?

“Amatieru” metode: ātri pierakstiet nākamās personas labās rokas numuru pie letes:

Šādā secībā:

Bet tā ir taisnība, jo gājiena kārtība nav īpaši lieliska. Ja jums ir jāzina, teiksim, šūnas numurs, kas pazūd, ātrums tiks iestatīts uz 4. Simtu var sadalīt vairākos bez pārmērības, un ir viegli saprast, ka šādi skaitļi tiks pievienoti apakšējā rindā: .

Pirms runāt, 18 maršēšanu var atšķirt arī no līdzīgiem pasākumiem:
Otrajā rindā ir skaitļi, kas dalās ar 4 un pārsniedz 2.

Vēl viena, akadēmiskāka dibināšanas metode periodiskuma sinussі dotās formulas. Koristēts ar gatavo formulu “jauns”, kas ir līdzīgs sinusam , vienkārši ievadiet vajadzīgo numuru. Piemēram:
(samazināšanas formula ) ;
(samazināšanas formula )

Mūsu vipadkai:

(1) Tā kā sinuss ir periodiska funkcija ar punktu, argumentu var viegli “sagriezt” uz 4 periodiem (kopā).

Līdzīgu sistēmu, kuras pamatā ir divu funkciju kombinācija, var atrast, izmantojot formulu:

Zokrema:

Nevajag neko speciāli iegaumēt, jo jo vairāk formulu zini, jo mazāk saproti. Labāk ir iepazīties ar Ņūtona binomiāls Leibnica formula ir ļoti līdzīga visiem pārējiem. Nu, tie ir tie laimīgie, kuri būs gājienā 7. vai vairāk (kas tomēr ir maz ticams), būs neizpratnē par to, kad runa ir par kombinatorika- tad tas notiks tik un tā =)

Ļaujiet mums uzzināt trešo svarīgo funkciju. Vikorista Leibnica formula:

Šajā sadaļā: . Pokhіdni viegli tulkojams vārdos:

Tagad uzmanīgi un ar cieņu ievadiet aizstāšanu un vienkāršojiet rezultātu:

Vidpovid:

Līdzīgi norādījumi neatkarīgai vyrishenya:

11. dibens

Ziniet funkcijas

Tā kā iepriekšējais risinājums “uz priekšu” joprojām konkurēja ar Leibnica formulu, tad tas vairs nebūs īsti pieņemams. Un vēl nepieņemamāk – ļoti līdzīgā veidā:

12. dibens

Uzziniet soļošanas secību norādītajā secībā

Lēmums: pirmām kārtām cieņa - pagrieziet asi tā, melodiski, nevajag =) =)

Pierakstīsim funkcijas un noskaidrosim to funkcijas līdz 5.kārtai ieskaitot. Pieļauju, ka labās puses gājieni tev kļuvuši miegaini:

Kreisā "dzīvā" līnija ir "beigusies", un vēl labāk - Leibnica formulai ir trīs papildinājumi nullei:

Es atkal pievēršos dilemmai, kas parādījās statistikā par salokāmas ceļojumu somas: Kā var just rezultātu? Principā jūs varat atņemt un tā - noguldījumus ir vieglāk pārbaudīt. Ale vin var palīdzēt saskaņot lēmumu. No otras puses, iniciatīvas spēka piedošana apdraudēs algebras līdzdalību. Tomēr mums ir pierādījums, kas ņemts "primārā" veidā =) (Div. posylannya on the cob), un esmu pārliecināts, ka tas ir pareizi:

Labi, viss ir kārtībā.

Vidpovid:

Laimīga veiksme neatkarīgai tikumībai:

13. dibens

Funkcijai:
a) vidējā diferenciācija, kas nav mediāna;
b) zināt Leibnica formulu;
c) aprēķināt.

Nē, es nemaz neesmu sadists – punkts “a” šeit ir vienkāršs.

Un, ja tas ir nopietni, tad "tiešajam" risinājumam turpmākajām diferenciācijām ir arī "tiesības uz dzīvību" - vairākos gadījumos sarežģītību var izlīdzināt ar Leibnica formulas sarežģītību. Vikorist, ja tu cienīsi visu - maz ticams, ka tu būsi tuvu attiecību pamatā.

Īss atrisinājums un nodarbības noslēgums.

Lai parādītu pēdējo rindkopu, jums ir jāatzīmē atšķirt implicītās funkcijas:

Līdzīgas augstākas funkciju kārtas, kas norādītas netieši

Cik daudzi no mums ir veltījuši daudzus gadus, dienas un dzīvības izglītībai? kilogramu, parabolas, hiperbola– un dažreiz tas bija sodāms. Tāpēc atriebsimies un atšķirsim tos kā pēdas!

Daudz kopš “skolas” parabolām pirms tās kanoniskā tapšana:

14. dibens

Sāncensība ir dota. Zināt.

Lēmums: pirmais krok labas zināšanas:

Tie, kuriem viena un tā pati funkcija nemaina izteiksmes būtību, otra ir līdzīga pirmajai:

Turpiniet ar saviem noteikumiem: ir ierasts identificēt 2. un augstākus pasūtījumus tikai caur “ix” un “player”. Tātad otrajā martā mēs varam aizstāt:

Trešais gājiens ir tāds pats kā 2. marts:

Līdzīgi aizstāsim:

Vidpovid:

"Skolas" hiperbola iekšā kanoniskā tapšana- patstāvīgam darbam:

15. dibens

Sāncensība ir dota. Zināt.

Es atkārtoju, otrs veids, kā rezultātu var pateikt tikai caur “ix” / “gravets”!

Īss atrisinājums un nodarbības noslēgums.

Pēc bērnišķīgiem pagriezieniem apbrīnojam vācu pornogrāfiju, paskatīsimies uz nobriedušākiem dibeniem, no kuriem atpazīstam vēl vienu svarīgu lēmumu pieņemšanas metodi:

16. dibens

Elips ar spēcīgu personību.

Lēmums: mēs zinām 1. izlidošanu:

Un tagad mēs apstāsimies un analizēsim pašreizējo brīdi: ir iespējams atšķirt abus, kurus nemaz nevar nomierināt. Šajā situācijā tas, protams, ir vienkārši, taču patiesībā šādu dāvanu savākšana kļūst arvien grūtāka. Kāds ir labākais veids, kā izvairīties no lielgabarīta aprīkojuma atrašanas? ES guļu! Mēs izmantojam to pašu paņēmienu, ka, kad tiek atrasta pirmā pieeja, mēs “uzliekam” insultu uz pārkāpuma daļu:

Vēl viens līdzīgs pienākums izpaužas tikai caur šo un to vienlaikus (uzreiz) manuāli izsaukt 1. martu. Kuram otrimanā greizsirdība tiek aizstāta:

Lai izvairītos no sarežģītām tehniskām grūtībām, reiziniet uzbrukuma daļas ar:

Un pēdējā posmā mēs izstrādājam sekojošo:

Tagad mēs varam redzēt salīdzinājumu izvadē un atzīmēt, ka rezultātu var vienkāršot:

Vidpovid:

Kā jebkurā brīdī uzzināt 2. marta vērtību (kā saprotams, piederēt elipsei), piemēram, tieši tā ? Tas ir tik viegli! Šis motīvs jau bija dzirdēts nodarbībā par vienādi normālie: 2. ceļam ir nepieciešams aizstāt :

Pārsteidzoši, ka visos trīs gadījumos jūs varat likvidēt skaidri definētās funkcijas un tās atšķirt, vai arī būt garīgi gatavam tikt galā ar abām funkcijām, lai atbrīvotos no saknes. Manuprāt, labāk ir rīkoties “netiešā veidā”.

Pēdējais punkts neatkarīgam sniegumam:

17. dibens

Uzziniet netieši norādītās funkcijas

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Jaunākā robota versija ir pieejama cilnē "Robota faili" PDF formātā

"Tezh man, Ņūtona binomiāls!»

no romāna "Meistars un Margarita"

“Paskāla trikutņiks ir tik vienkāršs, ka desmit gadus vecs bērns to varētu pierakstīt. Tieši tajā stundā viņa slēpj neizsmeļamus dārgumus un sasien dažādus matemātikas aspektus, kuriem no pirmā acu uzmetiena šķiet, ka nav nekā kopīga. Tabletes ne-avārijas jaudaļauj mums izmantot Paskāla triquetique kā vienu no vissmalkākajām shēmām visā matemātikā.

Mārtiņš Gārdners.

Meta roboti: precizēt īssavienojuma reizināšanas formulas, parādīt to formulas pirms uzdevumu risināšanas.

Zavdaņa:

1) lasīt un sistematizēt informāciju no šīs diētas;

2) pielietot instrukcijas Ņūtona binoma formulēšanai un soļu summas un starpības formulas.

Izmeklēšanas objekti:Ņūtona binomiāls, soļu summas un atšķirību formulas.

Izmeklēšanas metodes:

Darbs ar primāro un populārzinātnisko literatūru, interneta resursiem.

Izstrāde, izlīdzināšana, analīze, analoģija.

Atbilstība. Cilvēki bieži saskaras ar uzdevumiem, kuros viņiem ir jāizdomā visu iespējamo veidu skaits, kā pārvietot lietas, vai visu iespējamo veidu skaits, kā veikt dziedāšanas darbību. Dažādos maršrutus un iespējas, kas cilvēkiem ir jāizvēlas, veido ļoti daudzveidīga kombinācija. Un visa matemātikas nozare, kombinatorikas nosaukumi, uztura pētījumi: cik lietas tiek apvienotas tā vai citādi.

Kombinatoriskie daudzumi tiek paziņoti daudzu specialitāšu pārstāvjiem: ķīmiķim, biologam, dizainerim, dispečeram utt. Paaugstināta interese par kombinatoriku Pārējā laikā jāapzinās kibernētikas un skaitļošanas tehnoloģiju straujā attīstība.

Ievadiet

Ja vēlaties uzsvērt, ka spivrozmovņiks ir pārvarējis vīnu iestrēgšanas kārtības lielāku sarežģītību, sakiet: es arī esmu Ņūtona binomiāls! To sakot, Ņūtona ass ir binomiāla, tā ir sarežģīta, bet jums ir problēmas! Cilvēki, kuru intereses nav saistītas ar matemātiku, dzirdēja par Ņūtona binomiālu.

Vārds “binomiāls” nozīmē binomiāls. divu dodanku summa. Skolas kursa laikā šis ir īsās reizināšanas formulas nosaukums:

( A+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .

Šo formulu pamatformula ir tā, ko sauc par Ņūtona binominālo formulu. Skolā viņi mācās formulas kvadrātu dažādības, summas un kubu dažādības dalīšanai reizinātājos. Kāda smirdoņa valda uz citiem soļiem? Tātad, šīs ir formulas, kuras bieži izmanto augsta līmeņa uzdevumos: lai pierādītu autentiskumu, saīsinātu daļskaitļus, aptuvenu aprēķinu.

Arkānisko formulu izstrāde attīsta deduktīvi-matemātisko domāšanu un noslēpumaino inteliģenci.

ROZDILS 1. ŅŪTONA BINOMĀLĀ FORMULA

Viņu spēka iekarošana

Lai X ir daudzkārtība, kas sastāv no n elementiem. Ja elementiem k pievieno X daudzkārtības Y apakšiedalījumu, to sauc par n k elementu iedalījumu, kur k ≤ n.

Dažādu k elementu skaits no n tiek apzīmēts ar Z n k . Viena no svarīgākajām kombinatorikas formulām ir skaitļa n k formula:

Pēc acīmredzamajiem mēs varam ļoti ātri pierakstīt:

Zokrema,

Tas ir pilnībā saistīts ar faktu, ka faktoram X ir tikai viena apakškopa ar 0 elementiem - tukša apakškopa.

Skaitļi C n k iezīmē vairākas zvērīgas spējas.

Formula 3 n k = 3 n - k n ir pareiza, (3)

Formulas (3) nozīme ir apstāklī, ka pastāv savstarpēja saistība starp visu X k locekļu apakškopu neesamību un visu X (n - k) locekļu apakškopu neesamību: noteikt visi veidi Identitāte, kas ir pietiekama ādas k-locekļa apakšvienībai Y, pievieno tās papildinājumu reizinājumam X.

Pareizā formula ir З 0 n + З 1 n + З 2 n + … + З n n = 2 n (4)

Kreisajā pusē esošā summa izsaka visu reizinātāja X apakšnodaļu skaitu (C0n ir 0 termiņa apakšnodaļu skaits, C1n ir viena termiņa apakšnodaļu skaits utt.).

Ja k, 1≤ k≤ n , greizsirdība ir godīga

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Šo greizsirdību var viegli novērst, izmantojot papildu formulu (1). Tiesa,

1.2. Ņūtona binomiālā formula

Apskatīsim binomiālo posmu a +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(+b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Cienījami ir šādi modeļi:

Iegūtā bagātā biedra dalībnieku skaits ir par vienu vairāk uz vienu binomiālā posma rādītāju;

Pirmās pievienošanas stadijas rādītājs mainās no n uz 0, citas pievienošanas posma rādītājs palielinās no 0 līdz n;

Visu monomālu pakāpes ir vienādas ar binoma pakāpēm;

Katrs monoms ir pirmās un otrās izteiksmes reizinājums dažādos līmeņos un vienāds skaitlis - binoma koeficients;

Binominālie koeficienti, vienāds attālums no atlocīšanas sākuma un beigām, vienāds.

Apkopojot šīs formulas, šo formulu sauc par Ņūtona binominālo formulu:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Šai formulai ir n var būt jebkurš naturāls skaitlis.

Apskatīsim formulu (6). Vispirms pierakstīsim:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kur reizināto roku skaits ir vecāks n. No pamatnoteikuma summas reizināšanas ar summu izriet, ka (7) visu veidu radījumu atbilstošās summas, kuras var summēt šādi: būt pirmajam papildinājumam no summām. a + b reizināt ar jebkuru papildu summu no citas summas a+b par jebkuru papildu summu trešās summas apmērā utt.

No teiktā ir skaidrs, ka Virazi ir papildu (a + b ) n norāda (savstarpēji nepārprotami) rindas n, kas salocīts no burta a ka b. Starp dodankiem parādās līdzīgi dalībnieki; Ir skaidrs, ka šādi dalībnieki ir attēloti ar rindām, kas tomēr jāņem vērā burtu skaitam A. Kāds ir rindu skaits, lai burtu aizpildītu tieši k reizes? A, Tātad tikai Z n k. Nu, visu locekļu summa, kas burtu a aizstāj ar reizinātāju tieši k reizes, ir līdzīga C n k a n - k b k . Fragmenti k var iegūt vērtības 0, 1, 2, …, n-1, n, tad mūsu aprēķins tiek veikts pēc formulas (6). Cienījamie, (6) var uzrakstīt īsāk: (8)

Vēloties formulu (6) saukt par Ņūtona vārdu, tas tika atklāts vēl pirms Ņūtona (piemēram, zinot Paskālu). Ņūtona nopelns slēpjas apstāklī, ka viņš zināja formulas universālo vērtību vairākiem cilvēkiem. Tas pats I. Ņūtons 1664.-1665. Atradusi formulu, kas izsaka binoma pakāpi papildu metienam un negatīvajiem rādītājiem.

Skaitļus 0 n, C 1 n, ..., C n n, kas iekļauti formulā (6), parasti sauc par binomiālajiem koeficientiem, kurus izsaka šādi:

Formulā (6) var ņemt vērā šo koeficientu zemo jaudu. Piemēram, ar cieņu A=1, b = 1, noliegts:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

tobto. formula (4). Kā to likt A= 1, b = -1, tad mathemo:

0 = З 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

vai C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Tas nozīmē, ka izkārtojuma pārī savienoto dalībnieku koeficientu summa ir tāda pati kā izkārtojuma nesapāroto dalībnieku izredžu summa; āda ex 2 n -1 .

No izkārtojuma galiem izņemto biedru koeficienti ir vienādi. Šis spēks nāk no attiecībām: Z n k = Z n n - k

Tsikavyi okremiya epizode

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

vai īsāks (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polinoma teorēma

Teorēma.

Pierādījums.

Pēc monoma sviru atvēršanas jums ir jāizvēlas, no kurām rokām ņemt, no kurām ņemt utt. Un šīs ir rokas, no kurām ņemt. Koeficients, pie kura monomāls pēc līdzīgu terminu samazināšanas ir vienāds ar veidu, kādos var izdarīt šādu izvēli. Pirmo termiņu vēlēšanu secībā var veikt savā veidā, otro termiņu - , trešo - utt., th termiņu - savā veidā. Senās radīšanas meklēšanas koeficients

ROZDIL 2. Pēdējā laika augstākās kārtas notikumi.

Līdzīgu sistēmu jēdzieni.

Ļaujiet diferenciācijas funkcijai veikt dziedāšanas intervālu. Tad tas ir kustībā, šķietami degošs, lai apgultos X, tad funkcija ir X. Pilnīgi nav iespējams atkal ievietot ēdienu un ūdeni.

Viznachennya . Gājiens pēc pirmā gājiena tiek saukts līdzīgs citam pasūtījumam vai līdzīgs citam un tiek apzīmēts ar simbolu vai nu, tad

Viznachennya . Līdzīgu uzbrukumu no cita sauc par trešās kārtas uzbrukumu, un trešās kārtas uzbrukumu apzīmē ar simbolu abo.

Viznachennya . Pokhidnijsn -tais pasūtījums funkcijas tiek saukta par pirmo soļošanas kampaņu (n -1) šīs funkcijas i secība ir apzīmēta ar simbolu abo:

Viznachennya . Jaunāko pasūtījumu sauc par pārāku par pirmo populārākie.

Cieņa. Līdzīgi jūs varat secināt formulu n- staigāšanas funkcija:

Vēl viena līdzība ar parametriski norādītu funkciju

Tā kā funkciju parametriski nosaka ar vienādiem, tad līdzīga atšķirīgas kārtas mainīgā atklāšanai ir nepieciešama pirmo līdzīgo diferencēšana kā neatkarīga mainīgā locīšanas funkcija.

Tak jaks tad

tāpēc mēs esam laimīgi

Tad Otrimama.

Līdzīgi var zināt arī trešo maršu.

Diferenciālais sumi, izveidot un privāts.

Tā kā diferenciālis iznāk ar līdzīgu reizinājumu neatkarīga mainīgā diferenciālim, tad, zinot līdzīgās elementārās pamatfunkcijas, kā arī līdzīgu identificēšanas noteikumus, jūs varat ievērot līdzīgus diferenciāļu identificēšanas noteikumus.

1 0 . Diferenciālis ir nemainīgs un vienāds ar nulli.

2 0 . Šo funkciju diferenciāļu algebras senās summas galīgā skaita diferenciālfunkciju algebras diferenciālsumma .

3 0 . Divu funkciju izveides diferenciālis, kas atšķir, vienāds daudzums pirmās funkcijas izveidošanas uz otras diferenciāļa un otru funkciju uz pirmās funkcijas diferenciāļa .

Izmeklēšana. Pastāvīgo reizinātāju var uzskatīt par diferenciāļa zīmi.

2.3. Funkcijas, kas iestatītas parametriski, bez diferenciācijas.

Viznachennya . Funkciju sauc par parametriski norādītu, lai aizskartu izmaiņas X і Āda tiek apzīmēta atsevišķi kā viena vai otra nepārprotama funkcija un papildu mainīgais - parametrst :

det izmaiņas pie robežām.

Cieņa . Izraisīsim likmes un elipses parametru izlīdzināšanu.

a) Aplis no centra līdz koordinātu un rādiusa vālītei r Ir parametru vienādojumi:

b) Pierakstīsim elipses parametru vērtības:

Ieslēdzot parametru t No analīzes līniju parametriskajiem līmeņiem var pāriet uz to kanoniskajām līnijām.

Teorēma . Kāda ir funkcija strīda priekšā x ir dots parametriski ar vienādībām, kur i tiek diferencēti art funkcijas, kas tad.

2.4. Leibnica formula

Lai atrastu pārgājienu aprīkojumu n Lai noteiktu abas funkcijas, Leibnica formulai ir liela praktiska nozīme

Ejam uі v- Dažādas funkcijas X, kas draud, lai tas būtu jebkurā secībā y = uv. Vislovimo n- veids, kā funkcijas uі v .

Maemo konsekventi

Ir viegli atzīmēt analoģiju starp izteiksmēm otram un trešajam līdzīgajam, un Ņūtona binoma izvērsums ir līdzīgs otrajam un trešajam solim, bet soļu indikatoru vietā ir skaitļi, kas norāda secību līdzīgas, un pašas funkcijas var aplūkot datumos kā “nulles kārtas gājiens”. Ārsti, mēs noraidām Leibnica formulu:

Šo formulu var izstrādāt, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

ROZDILS 3. LIJBNICAS FORMULAS STACIJA.

Lai aprēķinātu jebkuras secības līdzību starp divām funkcijām, tiks fiksēta formula divu funkciju līdzības aprēķināšanai. Leibnica formula.

Šai papildu formulai mēs aplūkosim n-tajai secībai līdzīgu aprēķinu pielietojumu divu funkciju savienojumā.

dibens 1.

Uzziniet cita pasūtījuma funkciju

Acīmredzot pirms beigām iet otrs - pirmais aiziet pēc pirmā, tātad

Tāpēc mēs pareizi zinām dotās funkcijas pirmo secību diferenciācijas noteikumi un vikorists aktivitāšu tabula:

Tagad uzzināsim pirmo soli. Šī šukana būs līdzīga citam pasūtījumam:

Temats:

dibens 2.

Uzziniet funkcijas tādā pašā secībā

Lēmums.

Mēs konsekventi atradīsim noteiktas funkcijas pirmo, otro, trešo un tā tālāk secību, lai izveidotu modeli, ko var izveidot ceļā.

Pirmkārt, mēs zinām, kā Es iešu privāti:

Šeit izteiksmi sauc par skaitļa faktoriālu. Skaitļa faktoriāls ir skaitļu saskaitīšana no viena līdz vienam

Līdzīgi kā citā kārtībā, pirmais gājiens uz pirmo gājienu, tad

Līdzīgi kā trešajā kārtībā:

Ceturtais marts:

Tā ir labi zināma likumsakarība: skaitļu lasītājā ir skaitļa faktoriāls, kas ir zemāks pēc līdzības, un apzīmētājā ir pakāpiens augstāks, zemāks pēc līdzības, tāpēc

Apstiprinājums.

3. dibens.

Atrodiet trešās kustīgās funkcijas vērtību punktā.

Lēmums.

Židno pēdējo lielāko pasūtījumu tabulas, var būt:

Pie dibena redzamais ir noņemams

Ir svarīgi atzīmēt, ka šāds rezultāts varēja tikt mainīts, vēlāk atklājot to pašu.

Uzdevuma punktam ir trešā pieeja:

Temats:

4. dibens.

Uzziniet šo funkciju draugam

Lēmums. Vispirms es jums paziņošu:

Lai atrastu citu līdzīgu atšķirību, mēs vēlreiz izmantojam vīrusu pirmajam līdzīgajam:

Temats:

5. dibens.

Zināt ko

Ja ir dota funkcija un tā ir divu funkciju kombinācija, tad ceturtās kārtas līdzīgas funkcijas atrašana pilnībā apmierinās Leibnica formulu:

Mēs zinām, ka viss notiek labi, un mēs sagaidām koeficientus papildu ziedojumiem.

1) Nepieciešams noteikt papildu ziedojumu koeficientu:

2) Mēs zinām līdzīgas funkcijas:

3) Mēs zinām līdzīgas funkcijas:

Temats:

6. dibens.

Dota ar funkciju y=x 2 cos3x. Zināt trešās kārtas noslēpumu.

Ļaujiet u = cos3x, v = x 2 . Tad mēs zinām no Leibnica formulas:

Kura izteiksme izskatās šādi:

(cos3x)′=-3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Nu, trešā ir līdzīga dotajai funkcijai.

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

7. dibens.

Ziniet izeju n - funkciju secība y=x 2 cosx.

Ātri izmantojot Leibnica formulu, ar cieņuu=cosx, v=x 2 . Todi

Citi sērijas dalībnieki kļūst par nulli, fragmentiem(x2)(i)=0, ja i>2.

Pokhidna n - kosinusa funkcijas secība:

Nu, mūsu funkcijas ir līdzīgas senajām

VISNOVOK

Skolā tiek pētītas un izstrādātas tā saucamās īsslēguma reizināšanas formulas: kvadrātu un kubu summa un divu izteiksmju starpība un formulas, kas sadalītas reizinātājos ar divu izteiksmju kvadrātu starpību, summu un kubu starpību. Visizplatītākā no šīm formulām ir formula, ko sauc par Ņūtona binominālo formulu, un formula soļu summu un atšķirību reizināšanai. Šīs formulas bieži izmanto dažādos uzdevumos: autentiskuma apliecināšanai, daļskaitļu saīsināšanai, aptuvenai aprēķināšanai. Tiek pārbaudīts Paskāla triķetes spēks, kas ir cieši saistīts ar Ņūtona binomiālu.

Darbā ir sistematizēta informācija par tēmu, pielietota Ņūtona binoma un summas formulu definīcija un soļu atšķirība. Darbu var izmantot kā matemātikas pulciņa aizvietotāju, kā arī patstāvīgai apmācībai matemātikas interesenti.

VIKORISTANA JERELS SARAKSTS

1. Vilenkin N.Ya. Kombinatorika.- skats. "Zinātne". - M., 1969. gads

2. Nikoļskis S.M., Potapovs M.K., Rešetņikovs N.M., Ševkins A.V. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10. klase: nav. fona apgaismojumam. reģiona pamatu un apbedījumu organizēšana - M.: Prosvitnitstvo, 2014. - 431 lpp.

3. Statistikas, kombinatorikas un īpašību teorijas uzdevuma risinājumi. 7-9 klases / Autors - redaktors V.M. Studenetska. - Skats. 2-ge., ispr. - Volgograda: Vchitel, 2009.

4. Savuškina I.A., Khugajevs K.D., Tiškins S.B. Algebriskais līmenis lielāki soļi/ Metodiskā rokasgrāmata starpaugstskolu sagatavošanas nodaļas dzirdīgajiem studentiem. – Sanktpēterburga, 2001. gads.

5. Šarigins I.F. Matemātikas izvēles kurss: Problēmu risināšana. Pamatmācību grāmata 10. klasei. vidusskola. - M: Prosvitnitstvo, 1989.

6.Zinātne un dzīve, Ņūtona binomiāls un Paskāla trikets[Elektroniskais resurss]. - Piekļuves režīms: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Leibnica formula n-tais aprēķins līdzīga divu funkciju darbība. To var pierādīt divos veidos. Tiek apskatīts n-tās kārtas aprēķina pamats.

Zmist

Div. arī: Robotam ir divas funkcijas

Leibnica formula

Izmantojot papildu Leibnica formulu, var aprēķināt n-tās kārtas starpību starp divām funkcijām. Viņa izskatās šādi:
(1) ,
de
- Binomiālie koeficienti.

Binoma koeficienti un paplašinātā binoma koeficienti pa posmiem:
.
Arī skaitlis ir skaitlis, kas sadalīts no n k.

Leibnica formulas pierādījums

Formulēsim formulu divu funkciju iegūšanai:
(2) .
Pārrakstīsim formulu (2) šādā veidā:
.
Mums ir svarīgi, lai viena funkcija atrodas zem mainīgā x, bet cita - zem mainīgā y. Galu galā mēs cienām jūsu dizainu. Tad iepriekšējo formulu var uzrakstīt šādi:
(3) .
Tā kā līdzīgas dalībnieku summas ir līdzīgas un ādas elementam ir pievienotas divas funkcijas, līdzīgu augsto kārtu aprēķinu var konsekventi noteikt ar noteikumu (3).

Tad n-tajam pasūtījumam mēs varam:

.
Ārsti, mēs varam noņemt Leibnica formulu:
(1) .

Pierādīšana ar indukciju

Pierādīsim Leibnica formulu, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

Vēlreiz uzrakstīsim Leibnica formulu:
(4) .
Ja n = 1, mēs varam:
.
Šī ir formula divu funkciju darbībai. Tas ir godīgi.

Ir pieņemams, ka formula (4) ir derīga n-tajā kārtā. Pierādīsim, ka tas attiecas uz soļošanu n+ 1 -tais pasūtījums.

Atšķirība (4):
;



.
Nu mēs zinām:
(5) .

Aizstājot (5) punktu un pieņemot, ka:

.
Var redzēt, ka formulai (4) ir tāda pati forma pieejai n + 1 -tais pasūtījums.

Ožhe, formula (4) ir derīga n = 1 . 3 izšķērdēšana, kas ir uzvaroša katram skaitlim n = m, un pārkāpšana, kas ir uzvaroša, ja n = m + 1 .
Leibnica formula ir pabeigta.

Muca

Aprēķiniet n-to kustīgo funkciju
.

Pamatosim Leibnica formulu
(2) .
Uz mūsu vipadku
;
.

Aiz saistīto vienumu tabulas:
.
Trigonometrisko funkciju spēks ir acīmredzams:
.
Todi
.
Var redzēt, ka sinusa funkcijas diferenciācija noved pie nulles. Todi
.

Līdzīgas funkcijas ir zināmas.
;
;
;
, .

Fragmenti pie , tad Leibnica formulā pirmie trīs termini ir nulle vai mazāk. Mēs zinām, ka ir unikāli koeficienti.
;
.

Pēc Leibnica formulas:

.

Div. arī: