Точне рішення шварцшільда. Карл Шварцшильд: астрономія, артилерія, чорні дірки

Передісторіяпублікацій

25 листопада 1915 року професор Берлінського університету Альберт Ейнштейн представив Королівській академії наук Пруссії письмову доповідь, що містить систему повністю коваріантних (не змінюють вигляд при зміні системи координат) рівнянь релятивістської теорії гравітаційного поля, відомої також як Загальна теорія відносності.

Тижнем раніше Ейнштейн виступив на засіданні Академії з лекцією, де продемонстрував більш ранню і ще неповну версію цих рівнянь, які не мали повної підступності. Проте ці рівняння дали Ейнштейну можливість з допомогою методу послідовних наближень правильно обчислити аномальне обертання орбіти Меркурія і передбачити величину кутового відхилення зоряного світла на полі тяжіння Сонця. Карл Шварцшильд Цей виступ знайшов вдячного слухача — Карла Шварцшильда, колегу Ейнштейна з Академії. Він служив лейтенантом артилерії в діючій армії Німецької імперії і саме тоді приїхав у відпустку. У грудні, вже після повернення на фронт, Шварцшильд знайшов точне рішення першої версії рівнянь Ейнштейна, яке за його посередництвом опублікував у «Звітах про засідання» ( Sitzungsberichte) Академії. У лютому, вже ознайомившись із остаточною версією рівнянь ОТО, Шварцшильд надіслав Ейнштейну другу статтю, в якій вперше фігурує гравітаційний, він шварцшильдовський, радіус. У сучасній інтерпретації це радіус горизонту чорної діри, з-під якого неможлива передача сигналу назовні. 24 лютого, коли Ейнштейн передав до друку і цю роботу, битва під Верденом тривала вже три дні.

Наука і війна

Карл Шварцшільд (1873-1916) був не тільки блискучим, а й різнобічним вченим. Він залишив глибокий слід у спостережній астрономії, будучи одним із піонерів оснащення телескопів фотографічною апаратурою та її використання з метою фотометрії. Йому належать глибокі та оригінальні праці в галузі електродинаміки, зіркової астрономії, астрофізики та оптики. Шварцшильд навіть встиг зробити чималий внесок у квантову механіку атомних оболонок, побудувавши у своїй останній науковій роботі теорію ефекту Штарка — зміщення та розщеплення атомних рівнів в електричному полі. У 1900 році, за п'ятнадцять років до створення ОТО, він не тільки всерйоз розглянув ту парадоксальну можливість, що геометрія Всесвіту відрізняється від евклідового (таке допускав ще Лобачевський), а й оцінив нижні межі радіусу кривизни простору для сферичної та псевдосферичної геометрії космосу. Не досягнувши і тридцяти років, він став професором Геттінгенського університету і директором університетської обсерваторії, в 1909 був обраний членом лондонського Королівського астрономічного товариства і очолив Потсдамську астрофізичну обсерваторію, а ще через чотири роки став дійсним членом Прусської академії наук. Звістка про смерть німецького солдата, що загинув під Верденом Стройную наукову кар'єру Шварцшильда обірвала Перша світова війна. Він не підлягав призову за віком, але пішов до армії добровольцем і зрештою опинився на російському фронті в штабі артилерійської частини, де займався обчисленням траєкторій снарядів далекобійних знарядь. Там він став жертвою пемфігусу, або пухирчатки, дуже тяжкого аутоімунного захворювання шкірних покривів, якого мав спадкову схильність. Ця патологія погано піддається лікам і в наш час, а тоді взагалі була невиліковною.

У березні 1916 року Шварцшильд був комісований і повернувся до Потсдама, де помер 11 травня. Він був одним із найбільших фізиків, чиї життя забрала Перша світова. Також можна згадати Генрі Мозлі, одного із основоположників рентгенівської спектроскопії. Він служив офіцером зв'язку і загинув у 27 років під час Дарданелльської операції 10 серпня 1915 року.

Метрика Шварцшільда

Знаменита просторово-часова метрика (або чотиритензор) Шварцшильда історично стала першим точним рішенням рівнянь ВТО. Вона описує статичне гравітаційне поле, що створюється у вакуумі нерухомим сферично-симетричним тілом маси M. У стандартному записі в координатах Шварцшильдаt, r, θ, φ має дві особливі точки (формальною мовою — сингулярності), поблизу яких один з елементів метрики прагне нуля а інший до нескінченності. Одна з сингулярностей виникає при r = 0, тобто там, де звертається до нескінченності ньютоновський потенціал тяжіння. Друга сингулярність відповідає значенню r = 2GM/с 2 де G - гравітаційна постійна, M - гравітує маса і з - швидкість світла. Цей параметр зазвичай позначають r s і називають радіусом Шварцшільда ​​або гравітаційним радіусом. Це вже неньютонівська сингулярність, що випливає із рівнянь ОТО, над змістом якої мучилося кілька поколінь фізиків. Гравітаційний радіус тіла з масою Сонця дорівнює приблизно 3 км. Як відомо, цей параметр відіграє ключову роль у теорії чорних дірок.

Кутові координати Шварцшильда θ і φ повністю аналогічні полярному та азимутальному кутам у звичайних сферичних координатах, проте величина радіальної координати r аж ніяк не дорівнює довжині радіус-вектора. У метриці Шварцшильда довжина кола з центром на початку координат виражається евклідівською формулою 2πr, проте відстань між двома точками з радіусами r 1 і r 2 , що знаходяться на одному радіус-векторі, завжди перевищує арифметичну різницю r 2 -r 1 . Звідси одразу видно, що шварцшильдівський простір неевклідовий — відношення довжини кола до довжини її радіусу менше, ніж 2π.

Перший містокдо чорним дірам

А тепер найцікавіше. Метрика Шварцшільда, як вона наведена вище, в обох його статтях взагалі відсутня. У першій з його публікацій «Про гравітаційне поле точкової маси, що випливає з теорії Ейнштейна», представлена ​​метрика простору-часу, відповідна полю тяжіння точкової маси, яка зовсім не еквівалентна стандартній метриці, хоча зовні на неї схожа. У тій метриці, яку написав сам Шварцшильд, радіальна координата має нижню позитивну межу, отже, сингулярність ньютоновського типу в ній відсутня. Залишається лише сингулярність, що виникає, коли радіус набуває свого мінімального значення, яке виникає як постійна інтегрування. Для цієї постійної статті Шварцшильда немає ні формули, ні чисельної оцінки, лише позначення α. Неформальний сенс цієї сингулярності полягає в тому, що точковий центр маси оточений сферою радіусу α і на цій сферичній поверхні відбувається щось дивне та незрозуміле. Подробиці Шварцшильд не вдається.

Карл Шварцшільд отримав свою метрику в результаті вирішення рівнянь Ейнштейна в їхній першій версії, з якою він ознайомився 18 листопада. На її основі він підтвердив величину обчисленого Ейнштейном аномального повороту орбіти Меркурія. Він також вивів релятивістський аналог третього закону Кеплера, проте лише для кругових орбіт. Конкретно, він показав, що квадрат кутової швидкості пробних тіл, що обертаються за такими орбітами навколо центральної точки, дається простою формулою n 2 = α/2R 3 (літерою n Шварцшильд позначає кутову швидкість; R - радіальна координата). Оскільки R не може бути меншим, ніж α, кутова швидкість має верхню межу n 0 = 1/(√2α).

Нагадаю, що в ньютонівській механіці кутова швидкість тіл, що обертаються навколо точкової маси, може бути як завгодно великою, так що тут видно специфіка ОТО.

Формула для n0 виглядає незвичайно через її розмірність. Це з тим, що Шварцшильд приймає швидкість світла за одиницю. Щоб отримати кутову швидкість зі звичайною розмірністю 1/сек, треба праву частину формули n 0 помножити на швидкість світла c.

Родзинку Шварцшільд приберіг під завісу. Наприкінці статті він зазначив, що якщо величина точкової маси на початку координат дорівнює масі Сонця, то максимальна частота обігу виявляється приблизно 10 тис. оборотів за секунду. Звідси одразу випливає, що α = 10 -4 с/2π√2. Оскільки с = 3×10 5 км/сек, параметр α виявляється приблизно рівним 3 км, тобто гравітаційному радіусу Сонця! Не з'явившись у статті Шварцшильда явно, це число проникло туди з чорного ходу і без жодного обґрунтування (адже Шварцшильд не уточнив, як він отримав чисельну величину граничної частоти). Загалом, вже перша стаття Шварцшильда прокладає дуже тонкий місток до теорії чорних дірок, хоча виявити його не так просто. Помітивши це, я чимало здивувався, оскільки прийнято вважати, що гравітаційний радіус з'являється лише у другій статті Шварцшільда.

Другий містокдо чорним дірам

Друга стаття Шварцшильда називається "Про гравітаційне поле сфери, заповненої несжимаемой рідиною, обчислене відповідно до теорії Ейнштейна". У ній (нагадаю, вже на базі повної системи рівнянь ОТО) обчислено дві метрики: для зовнішнього простору та для простору всередині сфери. Наприкінці цієї статті вперше з'являється гравітаційний радіус 2GM/с 2 лише виражений в інших одиницях і ніяк спеціально не названий. Як зазначає Шварцшильд, у разі тіла з масою Сонця він дорівнює 3 км, а для маси в 1 г дорівнює 1,5 10 -28 см.

Але ці числа ще не найцікавіше. Шварцшильд також вказує, що радіус сферичного тіла, виміряний зовнішнім спостерігачем, не може бути меншим за його гравітаційний радіус. Звідси випливає, що точкова маса, про яку йшлося у першій статті Шварцшильда, також представляється ззовні у вигляді сфери. Фізично це пов'язано з тим, що ніякий світловий промінь не може наблизитися до цієї маси ближче, ніж її гравітаційний радіус, а потім повернутися до зовнішнього спостерігача. У статті Шварцшильда цих тверджень немає, але вони прямо випливають із її логіки. Це другий місток до концепції чорних дірок, який можна знайти у Шварцшильда.

Епілог

Сферично симетричними рішеннями рівнянь ОТО після Шварцшільда ​​займалися і чисті математики, і фізики, і космологи. Навесні 1916 року голландець Йоханнес Дросте, який закінчував у Лейденському університеті докторську дисертацію під керівництвом Хендріка Лоренца, представив шефу для публікації роботу, в якій обчислив метрику простору-часу для точкової маси простіше, ніж це зробив Шварцшильд (про його результат ). Саме Дросте першим опублікував ту версію метрики, яка пізніше стала вважатися стандартною.

У ході подальшого шліфування рішення Шварцшильда був також виявлений абсолютно різний характер сингулярностей: одну, що виникає в стандартній формі метрики при г = rs, як з'ясувалося, можна усунути заміною координат, інша, що виникає при r = 0, виявилася непереборною і фізично відповідає нескінченності поля тяжіння .

Все це дуже цікаво, але повністю випадає за межі моєї статті. Досить сказати, що математична теорія чорних дірок давно й добре розроблена і дуже гарна — і вся вона історично перегукується з рішенням Шварцшильда. Що стосується фізичної реальності чорних дірок, що виникають в результаті колапсу найпотужніших зірок, то в неї астрономи почали вірити лише з початку 1960-х років після відкриття перших квазарів. Але це вже зовсім інша історія.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese/Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548-568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld інструменти Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189-196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie/Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424-434.

4. Droste J. Field of Single Center в EINSTEIN's Theory of Gravitation, і Motion of Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).

Сто років тому дійсний член Королівської Академії наук Пруссії Карл Шварцшильд надіслав своєму побратимові за Академією Альберту Ейнштейну статтю з математичним описом поля тяжіння поза та всередині сфери, заповненої нерухомою рідиною постійної щільності. Ця робота стала початком теоретичних досліджень екзотичних об'єктів, які ми називаємо чорними дірками.

Осяяння Джона Мічелла

Історія створення сучасної теорії чорних дірок та їх відкриття у космічному просторі надто обширна та складна, щоб її можна було без перепусток та спрощень укласти у статтю розумного розміру. Тому я доведу оповідь лише до перших прикладів використання математичної моделі Шварцшильда у реальній астрофізиці, які мали місце майже через чверть століття після публікації його чудової статті. Однак у протилежному напрямку я залізу в історію кудись далі - в кінець XVIII століття. Саме тоді, в 1784 році, в офіційному журналі Лондонського Королівського товариства з'явилася стаття з незвичним (принаймні для нас) довгим заголовком: On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. з fixed stars, в наслідку звільнення з Velocity з їхнього світла, в випадку такої зволікання повинні бути зайняті таким чином в будь-якому місці, і такі інші дані повинні бути з Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. FR SS In Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S. Її автор, преподобний Джон Мічелл (John Michell), вже тоді умів обчислювати фізичну величину, яка зараз має ім'я радіуса Шварцшильда. Хоча ця робота в жодному сенсі не може вважатися попередницею сучасної концепції чорних дірок, заради історичної повноти почати треба саме з неї.

Є всі підстави назвати Джона Мічелла (1724-1793) блискучим англійським вченим XVIII століття, що закінчив курс Кембриджського університету. Він здобув освіту в Коледжі Корольов (Queens" College), де потім викладав з 1751 по 1763. Одружившись, він пристойного доходу заради став шукати церковну посаду, і з 1767 до самої смерті був настоятелем (ректором) приходу Св. Михайла у селі Торнхілл неподалік Лідса, він і там продовжував займатися наукою - до кінця життя.

Мічелл був чудовим і надзвичайно оригінальним дослідником. Його заслужено вважають батьком-засновником одразу двох наук – сейсмології та зіркової статистики. Мічелл першим виявив, що сила відштовхування між однойменними полюсами постійних магнітів зменшується пропорційно квадрату відстані, і задовго до Шарля Кулона (Charles-Augustin de Coulomb) винайшов і зробив «в залозі» крутильні ваги, які хотів, але не встиг використовувати для граві . Вже після смерті Мічелла його друг Генрі Кавендіш (Henry Cavendish), який отримав цей прилад і самостійно побудував його модифіковану версію, виконав прецизійні проміри сили тяжіння, результати яких вже на початку XIX століття дозволили обчислити постійну гравітаційну з помилкою лише порядку одного відсотка. (Можливо, варто нагадати, що ця фундаментальна фізична константа, як прийнято вважати, вперше з'явилася в першому томі знаменитої монографії Симеона Дені Пуассона (Simeon Denis Poisson), а широко використовуватися фізиками стала тільки в другій половині XIX століття.) До слова , стаття Мічелла, про яку йдеться, була надіслана саме Кавендішу, який зачитав її на кількох засіданнях Королівського товариства наприкінці 1783-го та на початку 1784 року. Мічелл, і сам активний член Товариства з 1760 року, тоді не зміг чи не захотів приїхати до Лондона (чому саме невідомо).

На жаль, Мічелл був неважливим комунікатором. Він часто включав свої чудові результати в тексти довгих журнальних статей, де описи відкриттів майже губилися на досить трюїстичному фоні. Через це Мічелл ні за життя, ні після смерті не отримав того визнання, яке він, безсумнівно, заслуговував.

У вступному листі до Кавендіша, що передує основну статтю, Мічелл дуже чітко сформулював мету нового дослідження. Він, як і інші британські вчені того часу, за Ньютоном вважав світло потоком найдрібніших частинок. Мічелл також слідом за Джозефом Прістлі (Joseph Priestley) припустив, що ці частинки, як і звичайна матерія, підпорядковуються законам механіки і, зокрема, повинні гальмуватися силами тяжіння. Мічелл вирішив, що за допомогою цього ефекту в принципі можна вимірювати відстані до зірок, зіркові величини та зіркові маси (стор. 35). Він також висловив сподівання, що астрономи зможуть плідно використовувати цей метод спостережень, що ще ніким не застосовувався (стор. 35–36).

Суть справи у наступному. Вважаючи, що швидкість світла в момент його випромінювання завжди однакова, Мічелл запропонував визначати швидкість світла, що приходить на Землю від різних зірок, і за допомогою законів небесної механіки вичавлювати з цих вимірів відомості про самі зірки. Наприклад, якщо припустити, що всі зірки (або якась група зірок) віддалені від Землі приблизно на однакові відстані, такі вимірювання дозволять оцінювати відносини зоряних мас: чим важча зірка, тим сильніше її тяжіння уповільнюватиме світлові корпускули.

Мічелл дуже докладно пояснив деталі свого методу, причому, у дусі ньютонівських «Математичних засад натуральної філософії», не навів жодної формули – його виклад строго геометрично. У його статті чимало дотепних висновків, тим більше, що крім механіки, він приваблює для своїх міркувань оптику і астрономію. Звичайно, ця праця була витрачена марно: швидкість світла у вакуумі стала. Тому стаття Мічелла швидше за все була б міцно забута, якби не один висновок – до речі, зроблений цілком схожим. Розвиваючи свої дедукції, він зрештою робить висновок, що дуже масивна зірка повинна настільки гальмувати світлові частинки, що вони ніколи не зможуть піти на нескінченність. Весь її світло під впливом її власного тяжіння «буде змушений повернутися до зірки» (стор. 42). Звідси випливає, що така зірка виявиться невидимою – принаймні з дуже великих дистанцій. Мічелл зазначив, що, згідно з його обчисленнями, для того, щоб світло зірки з тією ж щільністю, що й у Сонця, не могло піти на нескінченність, її діаметр повинен приблизно в 500 разів перевищувати сонячний. Таким чином, робить висновок Мічелл, якщо дуже далеко від нас існують настільки ж (і навіть більше) масивні зірки, ми ніколи не зможемо отримати про них жодної інформації за допомогою їх світла (стор. 50). Цікаво, що він використовує саме слово information, яке тоді не було в такому ходу, як у наші дні.

Легко бачити, що аналогія між чорними дірками в сучасному розумінні та мічеллівськими екзотичними зірками є дуже поверховою та приблизною. Класична чорна діра взагалі не випромінює жодного світла (гіпотетичне випромінювання Хокінга - суто квантовий ефект) і в цьому сенсі справді є чорною. Світлові корпускули в моделі Мічелла, навпаки, за будь-якого розкладу залишають поверхню зірки, тільки не завжди йдуть на нескінченність. Тому у Мічелла жодних абсолютно чорних зірок немає і бути не може, всі вони видно з тих чи інших дистанцій. Є й багато інших цілком очевидних відмінностей.

Мічелл замислився і над тим, чи не можна з Землі виявити зірку, якщо її світло не досягає нашої планети. І запропонував (я не можу не захопитись його проникливістю!) не просто здійсненне, а й абсолютно сучасне рішення. Припустимо, що така зірка входить у подвійну систему, причому світло другої зірки видно у наші телескопи. Тоді ми зможемо судити про наявність і навіть властивості невидимої зірки, спостерігаючи «хитання» її партнера. Добре відомо, що цей метод давно застосовується під час пошуку екзопланет.

Наскільки має рацію Мічелл у своєму обчисленні параметрів зірки, яку неможливо побачити з нескінченно великої дистанції? Відповідну формулу отримати дуже легко, це завдання для школяра. Треба взяти загальновідомий математичний вираз для другої космічної швидкості і підставити її місце швидкість світла. В результаті отримаємо, що зірка з масою M посилатиме світлові корпускули на кінцеві відстані, якщо її радіус R не перевищує величину , де G - ньютонівська постійна тяжіння, а c - швидкість світла. Для зірки із масою Сонця це приблизно 3 кілометри. Отже, критичний радіус будь-якої зірки в мічеллівській моделі дорівнює трьом кілометрам, помноженим на її масу в сонячних одиницях (інакше кажучи, на відношення її до маси Сонця). Звичайно, алгебраїчною формулою для критичного радіусу Мічелл володіти не міг хоча б через відсутність у тодішній фізичній мові поняття гравітаційної постійної. Мічелл (знову-таки в дусі Ньютона) оцінив його за допомогою геометричних побудов, причому дуже дотепних.

Повернемося, наприклад, Мічелла. Маса зірки сонячної щільності, чий діаметр у 500 разів більше сонячного, становить 125 мільйонів сонячних мас. Критичний радіус тіла з такою масою, згідно з наведеною вище формулою, дорівнює 375 мільйонів кілометрів. Середній радіус Сонця – це приблизно 700 тисяч кілометрів, і якщо його помножити на 500, то отримаємо 350 мільйонів. Тож Мічелл помилився зовсім небагато.

Джон Мічелл довіряв своїй логіці та інтуїції і тому припускав, що глибини космосу приховують безліч зірок, які з Землі не можна розглянути в жодному телескопі. Через три роки після його смерті такого висновку дійшов великий французький математик, астроном і фізик П'єр-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace), тоді ще не мав ні графського титулу, отриманого від Наполеона, ні титулу маркіза, яким його удостоїли Бурбони. Про світящі, але невидимі із Землі тіла (corps obscurs) він дуже коротко згадав у першому (1796) виданні свого популярного трактату Exposition du Systeme du Monde. У XIX столітті ця праця витримала багато прижиттєвих перевидань, які вже не згадували цієї гіпотези. Це і зрозуміло, оскільки більшість фізиків тоді вже вважали світло коливаннями ефіру. Існування «темних» зірок суперечило хвильовій концепції світла, і Лаплас вважав за краще про них забути. У пізні часи цю ідею вважали курйозом, гідним згадки лише у працях з історії науки.

І ще одна важлива деталь. І Мічелл, і Лаплас приписували невидимість на великих дистанціях тільки найбільш гігантським і, автоматично, найпотужнішим зіркам (тоді вважалося, що щільності всіх зірок приблизно рівні щільності Сонця). Ні той, ні інший не помітили, що в рамках ньютонвської теорії світла тим же властивістю може мати і невелике тіло, що світиться, надзвичайно високої щільності. Втім, про можливість таких компактних космічних об'єктів на той час ніхто не замислювався.

Карл Шварцшільд та його формули

25 листопада 1915 Альберт Ейнштейн представив Академії наук Пруссії письмову доповідь, що містить систему повністю підступних рівнянь релятивістської теорії гравітаційного поля, відомої також як загальна теорія відносності (ОТО). Тижнем раніше він виступив на засіданні Академії з лекцією, в якій продемонстрував у роботі більш ранню версію цих рівнянь, які не мали повної коваріантності (її він представив Академії двома тижнями раніше). Проте ці рівняння дали Ейнштейну можливість з допомогою методу послідовних наближень правильно обчислити аномальне обертання орбіти Меркурія і передбачити величину кутового відхилення зоряного світла на полі тяжіння Сонця.

Цей виступ знайшов вдячного слухача в особі колеги Ейнштейна по Академії Карла Шварцшильда (Karl Schwarzschild, 1873-1916), який служив у чинній армії Німецької імперії лейтенантом артилерії і тоді приїхав у відпустку. Повернувшись до місця служби, Шварцшильд знайшов у грудні точне рішення першої версії рівнянь Ейнштейна, яке опублікував через його посередництво в «Звітах про засідання» (Sitzungsberichte) Академії. У лютому, вже ознайомившись із остаточною версією рівнянь ОТО, Шварцшильд надіслав Ейнштейну другу статтю, в якій вперше у явному вигляді фігурував гравітаційний, він же шварцшильдовський радіус. 24 лютого Ейнштейн передав до друку і цю роботу.

Подібно до Джона Мічелла, Шварцшильд був не лише блискучим, а й дуже різнобічним ученим. Він залишив глибокий слід у спостережній астрономії, де став одним із піонерів оснащення телескопів фотографічною апаратурою та її використання з метою фотометрії. Йому належать глибокі та оригінальні праці в галузі електродинаміки, зіркової астрономії, астрофізики та оптики. Шварцшильд навіть встиг зробити важливий внесок у квантову механіку атомних оболонок, побудувавши у своїй останній науковій роботі теорію ефекту Штарка (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). У 1900 році, за п'ятнадцять років до створення ОТО, він не тільки всерйоз розглянув можливість того, що геометрія Всесвіту відрізняється від евклідової (її допускав ще Лобачевський), а й оцінив нижні межі радіусу кривизни простору для сферичної та псевдосферичної геометрії космосу. Не досягнувши ще й тридцяти років, він став професором Геттінгенського університету та директором університетської обсерваторії. У 1909 році його було обрано членом Лондонського астрономічного товариства і очолив Потсдамську астрофізичну обсерваторію, а ще через чотири роки став членом Прусської академії.

Наукову кар'єру Шварцшильда обірвала Перша світова війна. Не підлягаючи за віком призову, він пішов до армії добровольцем і зрештою опинився на російському фронті в штабі артилерійської частини, де розраховував траєкторії снарядів далекобійних знарядь. Там він став жертвою пемфігусу, дуже тяжкого аутоімунного захворювання шкірних покровів, якого мав спадкову схильність. Ця патологія погано піддається лікам і в наш час, а тоді була невиліковною. У березні 1916 року Шварцшильд був комісований і повернувся до Потсдама, де помер 11 травня. Шварцшильд і загиблий у Дарданелльской операції англійський фізик Генрі Гвін Мозлі (Henry Moseley) стали найбільшими вченими, життя яких забрала Перша світова війна.

Знаменита просторово-часова метрика Шварцшільда ​​історично стала першим точним рішенням рівнянь ОТО. Вона описує статичне гравітаційне поле, яке створюється у вакуумі нерухомим сферично-симетричним тілом маси M. У стандартному записі в координатах Шварцшильда t, r, θ,φ і при виборі сигнатури (+, -, -, -) вона дається формулою

де. Легко бачити, що цей параметр, який прийнято називати гравітаційним радіусом, або радіусом Шварцшильда, точно збігається з критичним радіусом зірки, який з'являється при розрахунку руху світлових корпусів моделі Мічелла. Як відомо, він відіграє ключову роль у сучасній теорії чорних дірок (його також називають горизонтом подій дірки).

Метрика Шварцшильда має дві особливі точки - сингулярності формальною мовою. Одна з сингулярностей виникає при r = 0, тобто там, де звертається до нескінченності ньютонавський гравітаційний потенціал. Друга сингулярність відповідає значенню r = r s коли коефіцієнт перед dt 2 звертається в нуль, а перед dr 2 - в нескінченність. Це і є власне шварцшильдівська сингулярність, над змістом якої мучилося кілька поколінь фізиків. Кутові координати Шварцшильда θ і φ повністю аналогічні полярному та азимутальному кутам у звичайних сферичних координатах, проте величина радіальної координати r аж ніяк не дорівнює довжині радіус-вектора. У метриці Шварцшильда довжина кола з центром на початку координат виражається евклідівською формулою 2πr, проте відстань між двома точками з радіусами r 1 і r 2 , що знаходяться на одному радіус-векторі, завжди перевищує арифметичну різницю r 2 -r 1 . Звідси відразу видно, що шварцшильдівський простір неевклідовий - відношення довжини кола до довжини її радіусу менше, ніж 2π. Можливо, варто уточнити, що координата r у шварцшильдівській метриці виникає як одне з можливих відображень (його прийнято називати стандартним) у тривимірне евклідове простір метричної координати ρ, яка фігурує в описі тривимірного ріманова різноманіття загального виду зі сферичною симетрією (див.: Yvonne Bruhat, Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology , с. 105–106). Але це вже математичні тонкощі.

А тепер – найцікавіше. Метрика Шварцшільда, як вона наведена вище, в обох його статтях взагалі відсутня. У першій з його публікацій «Про гравітаційне поле точкової маси, що випливає з теорії Ейнштейна» (K. Schwarzschild, 1916. )

Ця формула виглядає в точності як стандартна метрика Шварцшильда (1) з тією різницею, що швидкість світла в ній прийнята за одиницю і тому в явному вигляді відсутня, а радіальна координата позначена не малою літерою r, а великою R. Однак ця схожість чисто зовнішня оскільки координата R аж ніяк не тотожна r. Їх пов'язує формула R 3 =r 3 +α 3 де α - позитивна постійна інтегрування, що має розмірність довжини. Шварцшильд не дає її конкретну величину і лише зазначає, що залежить від маси точкового центру гравітації. Ця метрика і є знайдене Шварцшильдом точне рішення рівнянь ОТО для постійної точкової маси, виражене в координатах t, R, θ і φ.

Чим ці метрики відрізняються одна від одної? У метриці (1) значення радіальної координати r змінюється від нуля до нескінченності, тоді як у метриці (2) значення R лежать у проміжку від α до нескінченності. Як мовилося раніше, метрика (1) має дві особливі точки (сингулярності), тоді як метрика (2) - лише одну, R = α. При цьому значення R метрика втрачає сенс, а для менших значень R вона просто не визначена. Неформально звідси випливає, що точковий центр маси оточений сферою, що відповідає значенню R = α, і цієї сферичної поверхні відбувається щось дивне і незрозуміле. Третя відмінність між метриками (1) і (2) полягає в тому, що параметр α, на відміну від r s не визначений будь-якої конкретної формулою, так що в ній немає явної згадки про гравітаційний радіус.

Карл Шварцшильд отримав метрику (2) в результаті розв'язання рівнянь Ейнштейна в їх першій версії, з якою він ознайомився 18 листопада. На її основі він підтвердив величину обчисленого Ейнштейном аномального повороту орбіти Меркурія. Він також вивів релятивістський аналог третього закону Кеплера - проте тільки для кругових орбіт. Конкретно, він показав, що квадрат кутової швидкості пробних тіл, що обертаються по таких орбітах навколо центральної точки, дається простою формулою (літерою n Шварцшильд позначав кутову швидкість). Оскільки R не може бути меншим ніж α, кутова швидкість має верхню межу . Нагадаю, що в ньютонівській механіці кутова швидкість тіл, що обертаються навколо точкової маси, може бути як завгодно великою, так що тут видно специфіка ОТО. Нагадаю також, що формула для n0 виведена у припущенні, що швидкість світла дорівнює одиниці, через що і виходить, що розмірність кутової швидкості – зворотна довжина. Щоб отримати кутову швидкість зі звичайною розмірністю 1/сек, треба праву частину формули n 0 помножити на швидкість світла c.

Найцікавіше Шварцшільд приберіг під завісу. Наприкінці статті, буквально в передостанній фразі, він зазначає, що якщо величина точкової маси на початку координат дорівнює масі Сонця, то максимальна частота обігу виявляється приблизно 10 тисяч обертів на секунду. Звідси відразу випливає, що . Оскільки швидкість світла з = 3·105 км/сек, параметр α виявляється приблизно рівним 3 кілометрам, тобто гравітаційному радіусу Сонця! Не з'явившись у статті Шварцшильда явно, він проник туди з заднього входу і без будь-якого обґрунтування (адже Шварцшильд не уточнює, як він отримав чисельну величину граничної частоти). Загалом, вже перша стаття Шварцшильда прокладає тонкий місток до теорії чорних дірок, хоча виявити його не так просто. Помітивши це, я чимало здивувався, оскільки прийнято вважати, що гравітаційний радіус з'являється лише у другій статті Шварцшільда.

І останнє. Стандартну форму метрики Шварцшильда (1) можна отримати і з остаточної версії рівнянь ОТО. Оскільки йдеться про поле у ​​вакуумі, необхідно прийняти, що тензор-енергія імпульсу дорівнює нулю. В обох версіях рівнянь ОТО звідси випливає рівність нулю тензора Річчі, звідки, у припущенні центральної симетрії статичного поля, без особливих складнощів виводиться шварцшильдівська метрика (див. про це в книгах Л. Д. Ландау та Е. М. Ліфшиц, «Торі , стор. 381–384;Peter Collier, A Most Недосяжна думка: Посилання на Very Gentle Introduction to Mathematics of Relativity (стор. 260–263). Щоправда, тут виникають деякі математичні тонкощі, які сто років тому ще не було видно, але технічно такий висновок досить простий. Проте Шварцшільд, як бачимо, його не зробив.

Друга стаття Шварцшильда називається «Про гравітаційне поле сфери, заповненої несжимаемой рідиною, обчисленому відповідно до теорії Ейнштейна» (Karl Schwarzschild, 1916.). У ній (нагадаю, вже на базі повної системи рівнянь ОТО) обчислено дві метрики - для зовнішнього простору та для простору всередині сфери. Перша метрика цілком аналогічна метриці (2) з тією різницею, що зв'язок між координатами R і r там не настільки проста. Метрика всередині сфери набагато складніше, і наводити її я не буду. Для нас важливим є те, що наприкінці цієї статті вперше з'являється гравітаційний радіус, лише виражений в інших одиницях і ніяк спеціально не названий. Як зазначає Шварцшильд, у випадку тіла з масою Сонця він дорівнює 3 кілометрам, а для маси в 1 грам - 1,5 10 -28 сантиметра.

Але ці числа – ще не найцікавіше. Шварцшильд також вказує, що радіус сферичного тіла, виміряний зовнішнім спостерігачем, не може бути меншим за цей параметр. Звідси випливає, що точкова маса, про яку йшлося у першій статті Шварцшильда, також представляється ззовні у вигляді сфери. Фізично це пов'язано з тим, що ніякий світловий промінь не може наблизитися до цієї маси ближче, ніж її гравітаційний радіус, а потім повернутися до зовнішнього спостерігача. У статті Шварцшильда цих тверджень немає, але вони прямо випливають із її логіки. Це другий і останній місток до концепції чорних дірок, який можна знайти у Шварцшильда.

Сферично симетричними рішеннями рівнянь ОТО після Шварцшільда ​​займалися і чисті математики, і фізики, і астрономи. Навесні 1916 голландець Йоханнес Дросте, який закінчував у Лейденському університеті докторську дисертацію під керівництвом Х. А. Лоренца, представив шефу для публікації роботу з більш простим обчисленням метрики простору-часу для точкової маси порівняно з шварцшильдовським (J1. При цьому як основа він скористався ще більш ранньою версією рівнянь гравітації, знайденої Ейнштейном в 1913 році (так звана теорія «Проекту»). , Entwurf theory) Саме Дросте першим опублікував ту форму метрики, яка стала вважатися стандартною (дещо пізніше це зробили Давид Гільберт (David Hilbert) та Герман Вейль (Hermann Weyl)), який також отримав важливі результати щодо руху частинок у сферично-симетричних полях тяжіння .

У ході подальшого «шліфування» рішення Шварцшильда був також виявлений абсолютно різний характер сингулярностей, що виникають у стандартній формі метрики при r = r s (як з'ясувалося, її можна усунути заміною координат) та сингулярністю при r = 0, яка виявилася непереборною. Все це дуже цікаво, але повністю випадає за межі моєї статті. Тому мені залишається виконати обіцянку, заявлену на її початку – простежити історичний шлях до конструювання перших астрофізичних моделей на її основі.

Дивна фізика білих карликів

У перші роки після появи статей Шварцшильда та інших публікацій на ту саму тему практично ніхто не вірив, що в природі можуть існувати об'єкти, які створюють справді сильну неевклідовість навколишнього простору. Звідси випливало, що сфера Шварцшильда, як її почали називати, швидше за все, не має фізичного сенсу і ніколи не стане об'єктом реальних спостережень. Проте поступово ситуація почала змінюватися.

Ймовірно, правильним буде пов'язати початок цієї еволюції з опублікованою в 1926 році роботою англійського фізика Ральфа Фаулера (Ralph Fowler) «Про щільну матерію» (R. H. Fowler, 1926. On Dense Matter). Фаулер поставив за мету пояснити природу «таких зірок, як супутник Сіріуса» (стор. 114), інакше кажучи, білих карликів. Ці гарячі зірки з дуже малою болометричною світністю були відомі з середини XIX століття, а на той час вже отримали (1922) і свою нинішню назву. Вони усвідомлювалися як серйозну проблему для астрофізики через своїх аномально малих розмірів і так само аномально високої щільності, яка на кілька порядків перевищує щільність Сонця.

Фаулер припустив, що такі зірки пручаються гравітаційному стиску за рахунок тиску холодного нерелятивістського виродженого електронного газу, що виникає при узагальненні атомних електронів за дуже високої щільності зоряної матерії. Такий газ, відповідно до принципу Паулі, займає в імпульсному просторі всі допустимі значення від нуля до певної верхньої межі. Тиск цього газу не залежить від температури та пропорційно його щільності ступенем 5/3. Звідси випливає, що маса білого карлика в принципі може бути як завгодно великою, оскільки тиск виродженого газу завжди зможе чинити опір гравітаційному стиску зірки.

На перший погляд, модель Фаулера може здатися внутрішньо суперечливою. Білі карлики є повільно остигаючі, але все ще досить гарячі останки не дуже масивних зірок головної послідовності, що повністю вичерпали своє термоядерне паливо. Температури їх фотосфер варіюють від кількох тисяч до кількох десятків тисяч кельвінів, а центральні області, природно, нагріті значно більше. Виникає питання, звідки ж усередині цих зірок міг взятися холодний вироджений електронний газ. Однак з фізичного погляду такий газ може вважатися холодним, якщо максимальна енергія електронів помітно перевищує теплову енергію оголених атомних ядер внутрішньозоряної плазми. Розрахунки показують, що такий стан справ зберігається щонайменше до температур близько десятків мільйонів кельвінів.

Тепер повернемось на історичну канву. Незабаром модель Фаулера зазнала радикальної корекції, заснованої на використанні релятивістської механіки для опису електронного газу. Піонером у цій справі виявився чудовий радянський фізик-теоретик Яків Ілліч Френкель. Не можу відмовити собі в задоволенні процитувати відповідне місце з його автобіографії, де все сказано із дивовижною чіткістю:

«Того ж 1928 року я намагався докласти електронну теорію до проблеми внутрішньої будови зірок, розвиваючи теорію Фермі на випадок електронного газу з релятивістськими енергіями. Таким шляхом мені вдалося дійти висновку про те, що маса стабільної зірки не може перевершувати певного максимального значення, що не набагато перевищує масу Сонця».

Френкель мав на увазі свою статтю Anwendung der Pauli-Fermischen Elektronengastheorie auf das. Я. І. Френкель, Збори обраних праць, т. 2). Під стабільними зірками він розумів зірки з надзвичайно високою щільністю речовини, внутрішній тиск якої створюється холодним виродженим електронним газом. Це і є білі карлики, хоч сам Френкель такою назвою не користувався. При цьому він не тільки розглянув поведінку як нерелятивістського, так і релятивістського електронного газу, але також показав, що релятивістські ефекти починають працювати, коли маса зірки досягає приблизно маси Сонця, а щільність її речовини переходить за 109 кг/м 3 , що в цілому цілком відповідає сучасним уявленням про властивості білих карликів. Проте Френкель все ж таки не довів свій аналіз до обчислення граничної маси цих зірок, що невдовзі зробили інші вчені. На жаль, його чудові результати були помічені в астрономічному співтоваристві того часу і тому не вплинули на розвиток астрофізики.

Через рік після публікації статті Френкеля з'явилися роботи, у яких вихід за рамки теорії Фаулера було здійснено безпосередньо у контексті пояснення властивостей білих карликів. У 1929 році астрофізик з Тартуського університету Вільгельм Андерсон (Wilhelm Anderson) показав, що, якщо маса білого карлика досягає приблизно маси Сонця, електрони біля верхньої межі енергій набувають субсвітлових швидкостей і тому для обчислення рівняння стану електронного газу треба використовувати релятивістську механіку. У граничному разі ультрарелятивістських електронів тиск виявляється пропорційним щільності ступенем 4/3. Одночасно з Андерсоном таке саме рівняння стану, лише з іншим чисельним коефіцієнтом, вивів лектор Лідського університету Едмунд Стоунер (Edmund Stoner). На основі цих результатів (див. W. Anderson, 1929. Gewohnliche Materie und Strahlende Energie als Verschiedene "Phasen" herramientas und Desselben Grundstoffes ; EC Stoner, 1929. The Limiting Density in White Dwarf Stars) вони обидва прийшли до висновку про неможливість стабільності зоряних ядер, заповнених виродженим електронним газом, якщо їх маси по порядку величини наближаються до маси Сонця. У пізніших публікаціях вони навели наближені оцінки максимальної маси таких ядер (0,69 M у Андерсона і 1,12 M у Стоунера).

Андерсон і Стоунер у своїх викладках спиралися на ряд спрощених і тому нереалістичних припущень - наприклад, обидва вони припускали, що щільність речовини білого карлика є постійною у всьому його обсязі. Більш адекватний аналіз проблеми верхньої межі маси білих карликів у 1930 році виконав 19-річний випускник Мадраського університету та майбутній Нобелівський лауреат Субраманьян Чандрасекар (Subrahmanyan Chandrasekhar), який використав рівняння гідростатичної рівноваги (S. Chandrasekar, I. Max. . Він вивів формулу для максимальної маси ідеального білого карлика, яка зараз має його ім'я (межа Чандрасекара). Щоправда, у явному вигляді, як її у різних версіях можна знайти у підручниках та довідниках, вона у цій статті не наводиться – можливо, через стислість тексту. Підставивши чисельні значення фізичних величин, що фігурують у ній, Чандрасекар уклав, що маса білого карлика не може перевищувати 0,91 M s . Модель Чандрасекара (яка згодом неодноразово уточнювалася) була в теоретичному контексті свого часу абсолютно правильною, проте обчислене їм значення граничної маси виявилося надто низьким, оскільки він використав завищену величину середньої маси зоряної речовини, що припадає на один електрон. Зараз прийнято вважати, що ця межа з точністю до першого десяткового знака дорівнює 1,4 Ms; маса найлегшого білого карлика, відкритого нашій Галактиці, приблизно дорівнює 0,2 M s . В 1934 Чандрасекар побудував теорію білих карликів довільної маси, яку використав для детального обрахунку структур майже двох десятків таких зірок. Моделювання білих карликів різних типів зіграло чималу роль розвитку астрофізики у другій половині минулого століття.

Нейтронні ядра чи нейтронні зірки?

Білі карлики спочатку були відкриті в спостереженнях, а потім змодельовані теоретиками. Все вийшло навпаки з ще більш екзотичними компактними об'єктами Великого Космосу, нейтронними зірками.

До кінця першої чверті ХХ століття астрономи навчилися з пристойною точністю визначати міжгалактичні відстані на околиці Чумацького Шляху. Після цього стало ясно, що деякі з нових зірок випромінюють у тисячі разів більше енергії, ніж інші. У 1925 року шведський астроном Кнут Еміль Лундмарк (Knut Emil Lundmark) запропонував виділити в особливу групу нових зірок вищого класу, але це найменування якось не прищепилося. На початку 30-х професор фізики Калтеха Фріц Цвіккі (Fritz Zwicky) у лекціях для аспірантів став називати екстремально яскраві спалахи надновими. Цей термін щепився, хоча згодом втратив дефіс.

У грудні 1933 року Цвіккі та астроном з обсерваторії Маунт Вільсон Вальтер Бааде (Walter Baade) (обидва - емігранти з Європи) представили на сесії Американського фізичного товариства доповідь «Про наднові», яка невдовзі з'явилася у пресі (WA Baade and F.). , 1934 On Super-Novae). Доповідь була помічена за межами фізичної спільноти та відзначена в американських ЗМІ. Баад і Цвіккі підрахували, що протягом місяця типова наднова посилає в простір стільки ж світла, скільки випромінює наше Сонце за 10 мільйонів років. Вони дійшли висновку, що таке можливе лише при частковому перетворенні маси зірки на променеву енергію відповідно до формули Ейнштейна. Тому вони припустили, що вибух наднової є трансформацією звичайної зірки в зірку нового типу, що складається в основному з нейтронів. Нейтронна зірка повинна мати дуже малий радіус і, отже, складатися з речовини екстремально високої щільності, що на багато порядків перевершує щільність білих карликів. Ця гіпотеза була сформульована в замітці Cosmic Rays from Super-Novae, опублікованій у тому ж випуску Proceedings of the National Academy of Sciences відразу за першим повідомленням. У тій же роботі вони висунули воістину пророчу гіпотезу: вибухи наднових зірок можуть бути джерелом космічних променів.

Більшість фахівців визнала припущення про народження нейтронних зірок на фінальній стадії вибухів наднових, м'яко кажучи, погано обґрунтованим - тим більше, що Цвіккі та Бааде не могли запропонувати фізичний механізм народження таких дивних космічних об'єктів. Спочатку його не прийняв навіть Чандрасекар, хоча в 1939 році, виступаючи на конференції в Парижі, він все ж таки припустив, що ця гіпотеза має право на існування. Остаточно її справедливість стала ясною лише після відкриття радіопульсарів у 1967 році. Варто зазначити, що термін "пульсар" наприкінці того ж року винайшов не вчений, а журналіст, науковий оглядач газети Daily Telegraph Ентоні Міхаеліс (Anthony Michaelis).

Бааде та Цвіккі не першими допустили існування космічних об'єктів, що складаються з надщільної матерії. Раніше з аналогічною ідеєю виступив Лев Давидович Ландау, який припустив, що зіркові ядра, що складаються з такої матерії, можуть бути джерелом гравітаційної енергії, яку зірки витрачають на своє випромінювання. Його стаття була написана на початку 1931 року, тобто ще до відкриття нейтрона заступником директора Кавендішської лабораторії Джеймсом Чедвіком (James Chadwick) у 1932 році (природно, ця частка у статті Ландау і не згадується), проте опублікована роком пізніше (LD Landau, . On the theory of stars). У першій частині статті Ландау не тільки самостійно перевідкрив формулу для межі Чандрасекара (про яку він, можна не сумніватися, не встиг дізнатися), а й обчислив для нього цілком прийнятне значення 1,5 Ms. Ландау виявився ближче до істини, оскільки використав цілком реалістичну оцінку маси на один електрон, вважаючи її рівною подвоєної масі протона (Чандрасекар у своїй першій статті вважав її рівною двом з половиною протонним масам).

У другій частині Ландау у сенсі дав волю фантазії. Він зробив дуже екзотичне припущення, згідно з яким звичайні зірки мають компактні надщільні серцевини, фактично гігантські атомні ядри, які і служать їх енергетичними джерелами. Оскільки обґрунтувати цю ідею в контексті тогочасних (втім, як і сьогоднішніх) фундаментальних фізичних теорій було неможливо, Ландау навіть припустив, що у таких зоряних надрах може порушуватись закон збереження енергії. При цьому він посилався на авторитет Нільса Бора, який намагався в тому ж ключі пояснити загадковий розкид енергій та імпульсів бета-розпадних електронів (як відомо, Вольфганг Паулі «врятував» закон збереження енергії за допомогою нейтральної гіпотетичної частки, пізніше названої нейтрино).

Загалом, «нейтронізація» зоряної речовини як причина феноменальної потужності наднових – цілком і повністю ідея Бааде та Цвіккі. Щоправда, Бааді більше до неї не повертався і, швидше за все, не надто сприймав серйозно. А ось Цвіккі розгорнув цілу програму пошуку найновіших за допомогою 18-дюймового телескопа з фотокамерою, придбаного за рахунок фонду Рокфеллера. Вже до осені 1937 року, всього за рік спостережень, він виявив три наднові. Ця програма була згорнута після нападу японців на Перл-Харбор.

У ретроспективі зрозуміло, що гіпотеза Бааде і Цвіккі вказувала на цей перехід від виродженого електронного газу до речовини іншої природи, який логічно випливав з робіт Френкеля, Андерсона, Стоунера і Чандрасекара. Не дивно, що вона зацікавила Ландау, який через кілька років повернувся до своєї моделі і опублікував її модифіковану версію в журналі Nature (L. D. Landau, 1938. Origin of Stellar Energy). У цій замітці Ландау вже прямо писав не взагалі про ядерну, а саме про нейтронну матерію, що виникла при злитті електронів з атомними ядрами при надвисоких тисках усередині зіркових надр (цікаво, що при цьому він послався не на Бааді та Цвіккі, а на професора Лейпцизького університету Фрідріха Хунда (Friedrich Hund), який у середині 1930-х років активно займався астрофізикою). Ландау стверджував, що нормальні зірки можуть мати стабільні нейтронні ядри з масою понад одну тисячну (в інших припущеннях, одну двадцяту) маси Сонця, стиснення яких забезпечує енергію, що йде на їх випромінювання.

Однак у разі Ландау змінила його уславлена ​​інтуїція. Його гіпотеза того ж року була спростована Робертом Оппенгеймером (Julius Robert Oppenheimer) та його постдоком Робертом Сербером (Robert Serber) (J. R. Oppenheimer and R. Serber, 1938. On the Stability of Stellar Neutron Cores). Вони показали, що адекватний облік ядерних сил практично виключає можливість існування нейтронних ядер у зірок, чиї маси можна порівняти з масою Сонця. Оппенгеймер і Сербер також дійшли абсолютно вірного, як показав час, висновку, що ніяке нейтронне ядро ​​не може виникнути до того, як зірка повністю вичерпає всі джерела ядерної енергії (і, таким чином, хоча у статті це прямо і не говориться, зійде з головної послідовності). У їхньому короткому повідомленні також зазначено (щоправда, без доказів), що маса такого ядра принаймні може бути менше однієї десятої маси Сонця. Ця оцінка була отримана на основі одних лише енергетичних міркувань і виявилася абсолютно правильною. За сучасними уявленнями, при масі ядра менше 0,1 M s нейтрони стали б перетворюватися на протони у вигляді бета-розпаду. Новонароджені протони зливалися б із нейтронами, утворюючи сильно нейтронадлишкові і тому вкрай нестабільні атомні ядра. В результаті, якби нейтронна зірка якимось чином схудла настільки, що її маса впала нижче 0,1 Ms, вона зникла б у ядерному вибуху. За цю інформацію я дуже вдячний лікареві ф.-м. наук А. Ю. Потєхіну.

Ландау незабаром після публікації статті в Nature був заарештований і рік провів ув'язнення. До своєї моделі нейтронного ядра як джерела зоряної енергії він більше ніколи не повертався - швидше за все тому, що на час його звільнення у квітні 1939 року було вже ясно, що зірки головної послідовності живляться енергією термоядерного синтезу. Можливо, буде не зайвим нагадати, що Сербер у воєнні роки став одним з головних учасників Манхеттенського проекту, який очолював Оппенгеймер, і це саме він придумав імена для атомних бомб «Малюк» (Little Boy) і «Товстун» (Fat Man), скинутих 6 і 9 серпня 1945 року на Хіросіму та Нагасакі.

Повернення до Шварцшильда: перші кроки

Оскільки гіпотеза Цвіккі і Бааде все ж таки нікуди не поділася, виникло природне питання: чи існує верхня межа маси для тих наднових, які імовірно залишають по собі нейтронні зірки (нагадаю, що Ландау говорив не про верхню, а про нижню межу маси нейтронних ядер звичайних зірок )? Іншими словами, чи існує верхня межа маси гіпотетичних нейтронних зірок подібно до того, як вона існує для білих карликів? При цьому було зрозуміло, що нейтронні зірки, якщо вони дійсно народжуються в космічному просторі, щільно незрівнянно перевершують білі карлики. У 1937 році Георгій Гамов оцінив максимальну щільність нейтронної речовини в 10 17 кг/м 3 (G. Gamow, 1937. G. Gamov, 1939. густини маси типового білого карлика. Його результат цілком витримав перевірку спостереженнями: виміряні щільності нейтронних зірок варіюють у діапазоні (4-6) 10 17 кг/м 3 . У тій же монографії Гамов, згадавши опубліковану в 1932 гіпотезу Ландау, зазначив, що нейтронні ядра могли б забезпечити активне життя зірки «на дуже довгий час», хоча в той час така думка була вже анахронізмом.

У 1939 році цю проблему спробували вирішити Роберт Оппенгеймер та його канадський аспірант Джордж Майкл Волков (George Michael Volkoff), москвич з народження та в колишньому житті Георгій Михайлович. Їхня спільна стаття (J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, 1939. On Massive Neutron Cores) заслужено вважається одним із найяскравіших досягнень теоретичної астрофізики першої половини двадцятого століття. І це незважаючи на те, що отримана в ній оцінка верхньої межі маси нейтронних залишків масивних зірок виявилася заниженою.

Можна було б очікувати, що Оппенгеймер, ставлячи це завдання, хотів прояснити застосування гіпотези Бааде і Цвіккі. Однак якщо він мав такий намір, він зробив усе, що його приховати. У статті, про яку йдеться, взагалі немає посилань на жодну публікацію цих дослідників. Що й не дивно. Оппенгеймер був тоді професором фізики Каліфорнійського університету в Берклі, однак регулярно наїжджав до Калтеха, де працював Цвіккі. Не секрет, що Оппенгеймер на дух не переносив Цвіккі як людину і не довіряв йому як вченому (і таке ставлення в обох планах розділяли багато сучасників). Отже Оппенгеймер і Волков обмежилися нейтральною фразою: «Було припущено можливість, що у центральних областях досить потужних зірок, виснажили термоядерні джерела енергії, формуються сильно стислі нейтронні ядра» (стор. 475). Як одне з джерел цієї гіпотези вони назвали недавню публікацію Ландау в Nature, тоді як Бааде і Цвіккі проходять лише за розрядом «та інші» (Ibid). Вони також послалися на вищезгадане повідомлення Оппенгеймера і Сербера, точніше, на оцінку їх мінімальної маси нейтронного ядра в 0,1 M s .

А далі починається найцікавіше. Оппенгеймер і Волков працювали з моделлю виродженого холодного нейтронного фермігазу зі сферично-симетричним розподілом частинок. У цьому плані їхній підхід цілком аналогічний підходу Андерсона, Стоунера, Чандрасекара та Ландау, які робили обчислення на базі моделі виродженого релятивістського електронного газу. Оппенгеймер і Волков спеціально підкреслили, що якщо безпосередньо взяти зі статті Ландау 1932 формулу для максимальної маси зірки, що складається з такого газу (нагадаю, що це точний аналог формули Чандрасекара) і просто замінити там електрони нейтронами, верхня межа маси зірки складе приблизно 6 сонячних. мас, що дійсно обчислюється абсолютно елементарно. Однак далі співавтори вказують, що такий підхід був би хибним, причому з двох причин. Для отримання правильного результату необхідно врахувати неньютона характер тяжіння гіпотетичного нейтронного ядра з його гігантською гравітацією. Крім того, не можна заздалегідь припускати, що нейтронний газ буде релятивістською виродженою у всьому обсязі зірки. «Справжнє дослідження має на меті з'ясувати, які відмінності в результати обчислень внесе використання як загальної теорії відносності замість ньютонівської теорії гравітації, так і більш точного рівняння стану» (стор. 575).

Для вирішення цього завдання Оппенгеймер і Волков провели розрахунки на основі загального статичного рішення польових рівнянь Ейнштейна для сферично-симетричного розподілу речовини і, зокрема, рішення Шварцшильда, яке описує метрику порожнього простору, що оточує цю речовину. Вони також припустили, що речовина складається з квантових частинок, що підпорядковуються статистиці Фермі - Дірака, чиєю тепловою енергією та негравітаційними взаємодіями можна знехтувати. Прирівнявши масу частинок цього холодного фермігазу масі нейтронів і провівши наближене чисельне інтегрування отриманих рівнянь, Оппенгеймер і Волков дійшли висновку, що маси нейтронних ядер зірок, які повністю використали свої термоядерні енергетичні ресурси, не можуть перевищувати 70% сонячної маси.

Давно відомо, що ця перша оцінка максимальної маси нейтронних ядер виявилася заниженою. Найпізніше моделювання показало, що маси нейтронних зірок повинні лежати в інтервалі (1,5-3) Ms; маси реально спостерігалися нейтронних зірок становлять від півтора до двох сонячних мас. Причина цієї помилки також зрозуміла. Наприкінці 1930-х років ще не існувало розгорнутої теорії ядерних сил, яка б дозволила написати хоча б наближені рівняння стану матерії при надвисоких щільностях і тисках. Зараз відомо, що в цій галузі діють потужні ядерні сили відштовхування, які збільшують нижню межу мас нейтронних зірок у порівнянні з моделлю Оппенгеймера-Волкова.

Порівняння оцінки Оппенгеймера-Волкова з межею Чандраксекара очевидно створювало малоприємну проблему, яку вони самі чудово зрозуміли та прокоментували. Якщо тиск виродженого релятивістського електронного газу здатне чинити опір гравітаційному колапсу зірок з масою аж до майже півтори мас Сонця, то абсолютно незрозуміло, як могла б виникнути нейтронна зірка, якщо її маса не може перевищувати 0,7 M s . Оппенгеймер і Волков обійшли цю труднощі, припустивши, що нейтронні ядра можуть бути як завгодно масивними, якщо різниця між щільністю матерії та її потроєним тиском набуває великих негативних значень (стор. 381). Зараз ми знаємо, що це припущення не виправдалося, і верхня межа мас нейтронних зірок все ж таки існує. Оппенгеймер і Волков також висловили майже впевненість, що облік ядерних сил взаємного відштовхування не дозволить суттєво підвищити обчислену ними верхню межу мас нейтронних ядер - і в цьому вони теж виявилися неправими.

Зрозуміло, все це в жодному разі не зменшує значення роботи Оппенгеймера та Волкова. Вони діяли на абсолютно незвіданій території, причому практично самотужки, якщо не брати до уваги неформального сприяння професора Калтеха Річарда Толмена (Richard Tolman). Демонстрація, нехай і на спрощеній моделі, існування верхньої межі мас нейтронних зірок була результатом першорядної ваги. Цей результат дозволяв припустити, що найпотужніші нащадки наднових не стають нейтронними зірками, а переходять у якийсь інший стан.

На цьому варто зупинитися докладніше. Оппенгеймер, Волков і Толмен отримали рівняння для радіального градієнта тиску речовини всередині зірки, що стискається. Образно висловлюючись, воно показує, як зірка пручається стиску, збільшуючи внутрішній тиск. Однак у ВТО, на відміну від ньютонівської механіки, тиск сам служить фактором викривлення простору-часу і тим самим джерелом поля тяжіння. Тому гравітація всередині зірки може наростати настільки швидко, що колапс стає незворотнім. Це наслідок рівняння Толмена – Оппенгеймера – Волкова зараз здається дуже прозорим, проте автори його не простежили.

У тому ж 1939 Оппенгеймер і ще один його аспірант Хартланд Снайдер (Hartland Snyder) впритул наблизилися до опису такого фіналу (J. R. Oppenheimer and H. Snyder, 1939. On Continued Gravitational Contraction). Вони розглянули процес гравітаційного стиснення строго сферичного пилового хмари, що не обертається, з постійною щільністю - знову-таки, з явним використанням шварцшильдівської метрики. Звісно, ​​це була максимально спрощена модель космічної речовини. Частинки пилоподібної матерії за визначенням взаємодіють один з одним виключно за допомогою взаємного тяжіння (отже, тиск у такій хмарі дорівнює нулю) і тому рухаються геодезичними світовими лініями; крім того, така система не має термодинамічних характеристик. Проте найбільш реалістичних розрахунків з урахуванням загальної теорії відносності тоді просто не потягти, у чому автори статті і зізналися. Проте вони відзначили, що знайдене ними рішення, швидше за все, приблизно відображає основні риси процесу гравітаційного стиснення реальної зірки досить великої маси, яка повністю спалила своє термоядерне паливо (стор. 457).

Для отримання аналітичного рішення рівнянь ОТО Оппенгеймер і Снайдер перейшли до супутніх координат, в яких тензор енергії-імпульсу в даному випадку має єдину ненульову компоненту T 4 4 рівну щільності речовини. На основі своєї - повторю, сильно ідеалізованої - моделі вони дійшли висновку, що досить масивна зірка, що встигла спалити термоядерне паливо, під час подальшого стиснення стягується до свого гравітаційного радіусу. Цей процес займає нескінченно великий час з точки зору віддаленого спостерігача, але може бути дуже коротким для спостерігача, який рухається разом із зірковою матерією, що стягується. Наприклад, згідно з їхніми обчисленнями, гравітаційний колапс хмари з початковою щільністю 1 г/см 3 і загальною масою 10 33 г (отже, з радіусом близько мільйона кілометрів) з погляду такого спостерігача займе лише одну земну добу. Наближаючись до гравітаційного радіусу, «зірка повністю ізолює себе від будь-яких контактів із віддаленим спостерігачем; зберігається лише її гравітаційне поле» (стор. 456).

З рівнянь Оппенгеймера та Снайдера майже однозначно випливає, що зірка після досягнення гравітаційного радіусу не зупиняється і продовжує стискатися до стану з нескінченно малим об'ємом та нескінченно високою щільністю. Співавтори все ж таки утрималися від такого радикального висновку і навіть не запропонували його як гіпотезу. На жаль, тоді їхня чудова робота не викликала особливого інтересу - можливо, частково і тому, що її публікація точно збіглася за датою початку Другої світової війни (1 вересня 1939 року). До того ж на той час фізики та астрономи мало цікавилися ОТО та погано її знали. Здається, єдиним фізиком-теоретиком екстра-класу, який без затримки гідно оцінив її, був Ландау.

Трохи раніше Оппенгеймера і Снайдера проблемі гравітаційного колапсу сферично симетричної системи невзаємодіючих частинок приділив увагу і сам Ейнштейн (Albert Einstein, 1939). Ця стаття, яку він подав до публікації за два місяці до них, виявилася невдалою. Ейнштейн не вірив у шварцшильдівську сингулярність, що виникає поблизу гравітаційного радіусу, і тому намагався довести, що вона фізично недосяжна. Він використав метрику Шварцшильда (щоправда, у нестандартному записі), проте зробив цілком штучне припущення, що це частки рухаються навколо центру симетрії по круговим орбітам. Його обчислення показали, що зростання маси такої системи призводить до збільшення відцентрових сил, і це не дозволяє їй стискатися далі за певну межу. Через війну Ейнштейн із явним задоволенням констатував, що «сингулярність Шварцшильда немає у фізичної дійсності» (стор. 936). Він думав, що це висновок має загальний характер, не обмежений специфікою моделі, у яких сильно помилився. Деякі історики науки взагалі вважають цю статтю найгіршою з ейнштейнівських наукових праць. Наскільки я знаю, історія замовчує про те, чи Ейнштейн ознайомився з моделлю Оппенгеймера - Снайдера, і якщо так, то як він її оцінив.

Чудові дослідження Оппенгеймера – Волкова та Оппенгеймера – Снайдера стоять на початку довгої та славної історії докладання шварцшильдівського рішення рівнянь ОТО до аналізу конкретних астрофізичних моделей. Нові кроки в цьому напрямку були зроблені вже в повоєнний час, і їх опис виходить за межі моєї статті.

Тому обмежусь гранично коротким резюме. Фізична реальність чорних дірок стала поступово визнаватись після відкриття квазарів наприкінці 1950-х – на початку 1960-х років. Остаточне вирішення проблеми тотального колапсу дуже масивних зірок, які вичерпали своє ядерне паливо, було знайдено у другій половині ХХ століття зусиллями плеяди блискучих фізиків-теоретиків, у тому числі й радянських, переважно, з групи Я. Б. Зельдовича. Виявилося, що подібний колапс завжди стискає зірку «до упору», повністю руйнуючи її речовину та породжуючи чорну дірку. Усередині дірки виникає сингулярність, «суперконцентрат» гравітаційного поля, замкнений у нескінченно малому обсязі. У статичної діри це точка, у обертової - кільце. Кривизна простору-часу і, отже, сила тяжіння поблизу сингулярності прагнуть нескінченності (звичайно, йдеться про опис на основі ОТО, яке не враховує квантових ефектів). Математична теорія чорних дірок добре розроблена і дуже гарна - і вся вона історично перегукується з рішенням Шварцшильда.

Доповнення: автора, автора!

Офіційним батьком терміна "чорна діра" вважається професор Прінстонського університету Джон Арчібальд Уілер (John Archibald Wheeler). На початку 1950-х років він переключився з ядерної фізики на ОТО і дуже багато зробив для перетворення цих досліджень на серйозну та швидко зростаючу область на стику фундаментальної фізики, астрофізики та космології. Достовірно відомо, що він говорив про чорні діри 29 грудня 1967 року, виступаючи на щорічній конференції Американської асоціації на підтримку науки (не виключено, що цей вислів і до того кілька разів прослизав у його публічних лекціях). Незабаром його виступ з'явився у пресі (John Archibald Wheeler, 1968. Our Universe: The Known and the Unknown). Ефектна назва, що запам'ятовується, виникла дуже вчасно, оскільки майже співпала за часом з першим повідомленням про відкриття радіопульсарів (A. Hewish et al., ). Воно полюбилося фізикам і викликало захоплення журналістів, які рознесли його по всьому світу.

Хоча Вілер безперечно ввів термін «чорна діра» як у мову фізики, так і в масове звернення, винайшли його все ж таки інші. Його етимологія докладно розібрана в новій книзі професора MIT Марсії Бартусяк (Marcia Bartusiak , 2015. ) Згідно з її розшуками, вже в 1960 році колега Уїлера з фізичного факультету Прінстонського університету Роберт Дікке (Robert Dicke), який на початку другої половини минулого століття теж зайнявся гравітацією, виступаючи на колоквіумі в Інституті просунутих досліджень, жартома порівняв колапс масивної зірки. чорною ямою» (Black Hole of Calcutta). У середині XVIII століття так стали називати невелику тюремну камеру у форті Вільям, яку збудувала в Калькутті британська Ост-Індська Компанія. У червні 1756 року новий правитель Бенгалії, Біхара та Орісси Сірадж-уд-Дауда захопив форт Вільям і вморив у цій камері кілька десятків полонених англійців, які загинули від ядухи або теплового удару. З того часу вираз «black hole» закріпився в англійській мові як символ чогось, звідки немає повернення. У цьому сенсі його й ужив Роберт Дікке.

Як то кажуть, лиха біда почала. Жартівливому виразу Дікке судилося довге і почесне життя в новому значенні. Назва «чорна діра» кілька разів прозвучала в кулуарах Першого Техаського симпозіуму з релятивістської астрофізики, що відбувся у Далласі у грудні 1963 року. Незабаром його використав науковий редактор журналу Life Альберт Розенфельд, який опублікував репортаж про цю зустріч. Його перша поява в науковій пресі мала місце 18 січня 1964 року, коли в журналі Science News Letters було вміщено замітку про зустріч астрономів на щорічній сесії Американської Асоціації на підтримку науки, що відбулася наприкінці грудня в Клівленді. Згідно з автором замітки Енн Евінг, цей вислів неодноразово вживав фізик з Інституту Годдарда Хонг-І Чіу (Hong-Yee Chiu), який зізнався, що вперше почув його від Діке кілька років раніше. Так що пальма першості в імені повністю сколапсували зірок чорними дірками швидше за все належить Роберту Дікке. Цікаво, що Чіу в 1964 році і сам вигадав новий астрофізичний термін, а саме «квазар».

Загалом, вираз «чорна діра» як назва фінальної стадії гравітаційного колапсу найпотужніших зірок епізодично використовувався і до Уілер. Такою є реальна історія.

Додаток: післясонячний карлик

Зірки головної послідовності йдуть до перетворення на білі карлики різними шляхами та за різний час – залежно від своєї початкової маси. Заради ілюстрації подивимося, як і коли стане білим карликом наша зірка, рідне Сонце. Його доля давно та надійно прорахована.

Ось стандартний сценарій. У міру зменшення запасів водню сонячне ядро ​​поступово стискається та розігрівається, що збільшує світність Сонця. З моменту перетворення на зірку головної послідовності вона вже виросла на 25-30% - і процес іде і йтиме. Через 5,4 мільярда років температура центральної зони Сонця підвищиться настільки, що водень загориться не тільки в ядрі, а й у прилеглому шарі. Тиск у цій зоні швидко збільшиться, Сонце втратить гідростатичну стійкість і почне розширюватися, перетворюючись на червоний гігант. Цей процес займе близько 2 мільярдів років і призведе до того, що сонячний радіус зросте приблизно в 250 разів, світність збільшиться у 2700 разів, а температура поверхні впаде до 2600 кельвінів. У цій фазі багаторазово зросте інтенсивність сонячного вітру, у результаті Сонце втратить близько 30% маси.

На цьому зміни не закінчаться. Коли вік Сонця наблизиться до 12 мільярдів років, температура ядра досягне сотні мільйонів градусів, і тоді його центрі загориться гелій з утворенням вуглецю і кисню. У цей час Сонце стиснеться приблизно в 20 разів, тому його радіус складе 11 радіусів стабільного періоду. Температура поверхні знову підвищиться, хоч і не до попереднього рівня – лише до 4770 кельвінів (так що Сонце з червоного стане помаранчевим).

Стадія гелієвого горіння буде не надто тривалою – приблизно 100 мільйонів років. На периферії в цей час допалюватиметься водень, причому зона його згоряння знову зрушить у напрямку до поверхні. До кінця цієї епохи гелій загориться навколо ядра, тоді як у самому ядрі реакції синтезу вже припиняться. Сонце знову дестабілізується, його зовнішні шари вдруге роздуються приблизно до колишнього максимуму, і воно перетвориться на асимптотичний червоний гігант із температурою поверхні близько 3500 кельвінів.

Життєвий термін цього велетня виявиться зовсім коротким, лише 30 мільйонів років. У центрі його ядра швидко накопичиться велика кількість вуглецю та кисню, які спалахнути вже не зможуть – не вистачить температури. Зовнішній гелієвий шар продовжуватиме горіти, поступово розширюючись і через це охолоджуючись. Швидкість термоядерного згоряння гелію надзвичайно швидко зростає з підвищенням температури і знижується. Тому начинки асимптотичного червоного гіганта почнуть сильно пульсувати і зрештою його атмосфера виявиться викинутою в навколишній космос зі швидкістю в десятки кілометрів на секунду. Спочатку зоряна оболонка, що розлітається, під дією іонізуючого ультрафіолетового випромінювання нижчих зоряних шарів яскраво засяє блакитним і зеленим світлом (такі світні оболонки з чисто історичних причин називаються планетарними туманностями). Але вже через тисячі або, принаймні, десятки тисяч років вона охолоне, потемніє і розсіється у просторі.

Що стосується ядра, що залишилося оголеним, то там перетворення елементів припиниться зовсім, і воно світитиме лише за рахунок накопиченої теплової енергії, все більше і більше остигаючи і згасаючи. Стиснутись у нейтронну зірку або чорну дірку воно не зможе, не вистачить маси. В результаті на місці Сонця виникне білий карлик, що складається з ядер вуглецю та кисню, занурених у вироджений електронний газ. Його маса становитиме 54% нинішньої маси нашого світила, тобто сильно не дотягне до межі Чандрасекара, тому електронний газ буде нерелятивістським. Десь через трильйон років він охолоне до десятків градусів Кельвіна, практично перестане випромінювати тепло і стане чорним карликом.

Якби наша Галактика була приречена на одиночну подорож Космосом, цей прогноз мав би стовідсоткову достовірність. Однак через 4 мільярди років Чумацький Шлях зустрінеться і зіллється із сусідньою Андромедою, утворивши нову гігантську галактику. У більш віддаленому майбутньому їй судилося об'єднання з галактикою М33, вона ж галактика Трикутника. Не можна заздалегідь виключити того, що в цій зірковій асоціації Сонце, що стало білим карликом, виявиться членом тісної бінарної системи, маючи в якості партнера зірку головної послідовності або червоний гігант. Якщо її речовина почне перетікати на поверхню Сонця, може статися так, що Сонце або стане новою зіркою, або навіть перетвориться на наднову типу Ia і повністю зникне в жахливому вибуху. Однак, наскільки можна судити, ймовірність такого результату дуже мала, тому стандартний сценарій має всі шанси на здійснення.

Олексій Левін

У 1916 р., лише через кілька місяців після того, як Ейнштейн опублікував свої рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності, німецький астроном Карл Шварцшильд знайшов вирішення цих рівнянь, що описує найпростішу чорну дірку. Шварцшильдівська чорна діра "проста" у тому сенсі, що вона сферично симетрична (тобто у неї немає "переважного" напрямку, скажімо осі обертання) і характеризується лише масою. Тому тут не враховуються ті ускладнення, що вносять обертання, електричний заряд та магнітне поле.

Починаючи з 1924 р. фізики та математики почали усвідомлювати, що у шварцшильдівському рішенні рівнянь гравітаційного поля є щось незвичне. Зокрема, це рішення має математична особливість на горизонті подій. Сер Артур Еддінгтон був першим, хто підібрав нову систему координат, у якій цей ефект відсутній. У 1933 р. Жорж Леметр просунув ці дослідження далі. Проте лише Джон Лайтон Сінг розкрив (1950 р.) справжню сутність геометрії шварцшильдівської чорної діри, відкривши тим самим шляхи для подальших важливих робіт М. Д. Крускала та Г. Секереша у 1960 р.

Щоб розібратися в деталях, виберемо перш за все трьох хлопців – Борю, Васю та Машу – і уявімо, що вони ширяють у космосі (рис. 9.1). Завжди можна взяти в космосі довільну точку та визначити положення всіх трьох, вимірюючи відстані від них до цієї точки. Наприклад, Боря знаходиться на відстані 1 км від цієї довільної початкової точки відліку, Вася - 2 км, а Маша - 4 км. Характеристику становища у разі зазвичай позначають буквою rі називають радіальною відстанню. Таким шляхом можна висловити відстань до будь-якого об'єкта у Всесвіті.

Зауважимо тепер, що наші три приятеля нерухомі у просторі, але "переміщаються" у часі, бо стають все старшими і старшими. Цю особливість можна зобразити на просторово-часовій діаграмі (рис. 9.2). Відстань від довільної початкової точки відліку ("початку") до іншої точки у просторі відкладається тут вздовж горизонтальної осі, а час – вздовж вертикалі. Крім того, як і в приватній теорії відносності, зручно взяти на координатних осях цього графіка такі масштаби, щоб промені світла описувалися прямий з нахилом 45њ. На такій діаграмі простору-часу світові лінії всіх трьох хлопців ідуть вертикально вгору. Вони весь час залишаються на тих самих відстанях від точки початку ( r = 0), але поступово стають все старшими і старшими.

Важливо усвідомити, що лівіше точки r = 0 на рис. 9.2 взагалі нічого немає. Ця область відповідає чомусь, що можна назвати "негативним простором". Оскільки неможливо перебувати " з відривом мінус 3 м " від будь-якої точки (початку відліку), то відстані від початку завжди виражаються позитивними числами.

Перейдемо тепер до шварцшильдівської чорної діри. Як уже говорилося в попередньому розділі, така дірка складається із сингулярності, оточеної горизонтом подій на відстані 1 шварцшильдівського радіусу. Зображення такої чорної дірки у просторі дано на рис. 9.3 ліворуч. При зображенні чорної діри на просторово-часовій діаграмі довільну точку початку відліку координат для зручності сумісний із сингулярністю. Тоді відстані вимірюються безпосередньо від сингулярності по радіусу. Діаграма простору-часу, що вийшла, зображена на рис. 9.3 праворуч. Подібно до того, як наші приятелі Боря, Вася та Маша зображуються на рис. 9.2 вертикальними світовими лініями, світова лінія горизонту подій йде вертикально вгору точно на 1 шварцшильдовський радіус правіше світової лінії сингулярності, яка на рис. 9.3 зображена пилкоподібною лінією.

Хоча у рис. 9.3, що зображує шварцшильдівську чорну дірку в просторі-часі, начебто немає нічого загадкового, до початку 1950-х років фізики почали розуміти, що цією діаграмою суть справи не вичерпується. Чорна діра має різні області простору-часу: перша між сингулярністю і горизонтом подій і друга за межами горизонту подій. Ми не змоглиповністю висловити у правій частині рис. 9.3, як саме пов'язані між собою ці сфери.

Щоб розібратися у взаємозв'язку між областями простору-часу всередині та поза горизонтом подій, уявімо собі чорну дірку з масою в 10 сонячних мас. Нехай із сингулярності вилітає астроном, пролітає через обрій подій назовні, піднімається на максимальну висоту в 1 мільйон кілометрів над чорною дірою, а потім падає назад, крізь обрій подій, і знову падає у сингулярність. Політ астронома зображено на рис. 9.4.

Уважному читачеві це може здатися неможливим – адже із сингулярності вискочити взагалі не можна! Обмежимося тим, що пошлемося на чисто математичнуможливість такої подорожі. Як видно з подальшого, повне рішення Шварцшильда містить як чорну, такта білу дірку. Тому протягом кількох наступних розділів від читача знадобиться терпіння та увага. Тут і в наступних розділах ми ілюструватимемо виклад за допомогою подорожей астрономів або космонавтів до чорних дірок. Для зручності говоритимемо про космонавт просто "він".

Астроном-мандрівник має із собою годинник, щоб вимірювати свій власний час. У домосідів-вчених, які стежать за його польотом з відстані 1 мільйон кілометрів від чорної діри, теж є годинник. Простір там плоский, і годинник вимірює координатний час. Досягши найвищої точки траєкторії (на відстані мільйона кілометрів від чорної діри) Усегодинник ставиться на той самий момент (синхронізується) і тепер показує 12 год дня. Тоді можна обчислити, в який момент (як за власним часом мандрівника, так і за координатним часом) астроном потрапить у кожен пункт своєї траєкторії, що цікавить нас.

Нагадаємо, що годинник астронома вимірює його власний час. Тому за ними не можна помітити "уповільнення перебігу часу", зумовленого ефектом гравітаційного червоного усунення. При заданих значеннях маси чорної дірки та висоти над нею найвищої точки шляху розрахунки призводять до наступного результату:

У своєму часі астронома

1. Астроном вилітає з сингулярності об 11 год 40 хв ранку (за своїм годинником).
2. Через 1/10 000 с після 11 год 40 хв він перелітає через горизонт подій у світ.
3. О 12 годині дня він досягає максимальної висоти в 1 мільйон кілометрів над чорною дірою.
4. За одну 1/10 000 з до 12 год 20 хв дня він перетинає горизонт подій, рухаючись усередину.
5. Астроном повертається в сингулярність о 12 год 20 хв дня.

Іншими словами, на рух від сингулярності до горизонту подій і назад йому потрібно один і той же час - 1/10 000 с, тоді як на переміщення від горизонту подій до найвищої точки власної траєкторії і навпаки він витрачає щоразу 20 хв (за 20 хв він проходить 1 мільйон кілометрів). Слід пам'ятати, що час під час польоті тече стандартним чином.

Проводяться здалеку спостереження вчені вимірюють по своїх годинах координатний час; їх обчислення дають такі результати:

У координатному часі

Звісно, ​​всі згодні у цьому, що астроном-мандрівник досягає максимальної висоти польоту о 12 год дня, тобто. в той момент, коли синхронізуються весь годинник. Всі також будуть згодні і в тому, коли астроном вилітає із сингулярності та коли він повертається до неї. Але в іншому шварцшильдівська геометрія явно ненормальна. Вилетівши із сингулярності, астроном переміщається в координатному часі назад у часідо року. Потім він знову мчить уперед у часі, досягає максимальної висоти польоту опівдні, а опускається під обрій подій на рік. Після цього він знову переміщається назад у часіі потрапляє у сингулярність о 12 год 20 хв дня. На діаграмі простору-часу його світова лінія має вигляд, показаний на рис. 9.5.

Дещо з цих дивних висновків можна зрозуміти інтуїтивно. Згадаймо, що з точки зору віддаленого спостерігача (годинник якого вимірює координатний час) на горизонті подій час зупиняється. Згадаймо також, що камінь або будь-яке інше тіло, що падає на обрій подій, ніколине дійдуть точки з висотою шварцшильдовського радіусу у поданні далекого спостерігача. Тому астроном, що падає в чорну дірку, не може перетнути горизонту подій аж до року, тобто в нескінченно віддаленому майбутньому. Оскільки вся подорож симетрична щодо моменту 12 год дня (тобто. зліт і падіння займають один і той самий час), то далекі вчені повинніспостерігати, що астроном піднімався, рухаючись до них протягом мільярдів років. Він повинен перейти назовні обрій подій на рік.

Ще незрозумілішим є той факт, що віддалені спостерігачі бачать двохрухомих астрономів. Так, наприклад, в 3 години дня вони бачать одного астронома, що падає на горизонт подій (що рухається вперед у часі). Однак, згідно з їх розрахунками, повиненіснувати й інший астроном усередині горизонту подій, що падає на сингулярність (і що рухається назад у часі).

Звичайно, це безглуздя. Точніше, така дивна поведінка координатного часу означає, що зображена на рис. 9.3 картина шварцшильдівської чорної діри просто не може бути вірною. Доводиться пошукати інші – причому їх може бути безліч – справжні діаграми простору-часу для чорної діри. У тій простій діаграмі, що показано на рис. 9.5, ті самі області простору-часу виявляються перекритими двічі, тому й спостерігаються відразу два астрономи в той час, як насправді існує тільки один. Отже, потрібно розгорнути або перетворити цю просту картинку таким чином, щоб виявити істинну, або глобальну,структуру всього простору-часу, пов'язаного зі шварцшильдівською чорною діркою.

Щоб краще зрозуміти, як має виглядати ця глобальна картина, розглянемо обрій подій. На спрощеній двовимірній діаграмі простору-часу (див. правий бік рис. 9.3) горизонт подій це лінія, що йде від моменту (віддалене минуле) до моменту (далеке майбутнє) і знаходиться точно на відстані 1 шварцшильдівського радіусу відгуля. Така лінія, звичайно, правильно зображує розташування поверхні сфери у звичайному тривимірному просторі. Але коли фізики спробували вирахувати обсяг цієї сфери, вони, на свій подив, виявили, що він дорівнює нулю.Якщо обсяг деякої сфери дорівнює нулю, це, звичайно, просто точка. Іншими словами, фізики стали підозрювати, що дана "лінія" на спрощеній діаграмі має бути у глобальній картині чорної діри насправді точкою!

Уявіть собі до того ж довільну кількість астрономів, що вискакують із сингулярності, що злітають на різні максимальні висоти над горизонтом подій і знову падають назад. Незалежно від того, коли саме вони були викинуті з сингулярності, і від якої саме висоту над горизонтом подій злітали, всі вонибудуть перетинати обрій подій у моменти координатного часу (на шляху назовні) та (на зворотному шляху). В результаті проникливі фізики також запідозрять, що ці дві "точки", і повинні бути обов'язково представлені в глобальній картині чорної дірки у вигляді двох відрізків світових ліній!

Щоб перейти від спрощеного зображення чорної діри до її глобальної картини, слід переробити наше спрощене зображення набагато складнішою діаграмою простору-часу. І все ж таки нашим кінцевим результатом виявиться нова просторово-часова діаграма! На цій діаграмі просторовоподібні величини будуть спрямовані горизонтально (ліворуч), а тимчасовоподібні величини - вертикально (знизу вгору). Іншими словами, перетворення має спрацювати так, щоб старіпросторова та тимчасова координати були замінені на новіпросторову та тимчасову координати, які відбивали б цілком істинну природу чорної діри.

Щоб постаратися зрозуміти, як можуть бути пов'язані між собою стара і нова система координат, розглянемо якогось спостерігача поблизу чорної діри. Щоб уникнути падіння на чорну дірку і залишатися на постійній відстані від неї, він повинен мати потужні ракетні двигуни, що викидають потоки газів вниз. У плоскому просторі-часі, далеко від тяжіючих мас, космічний корабель при працюючих двигунах придбав би прискоренняі рухався б дедалі швидше, бо тяга ракетних двигунів забезпечила йому постійне зростання швидкості. Світова лінія такого корабля зображена на діаграмі простору-часу на рис. 9.6. Ця лінія поступово зближується з прямою, що має нахил 45њ, у міру того, як внаслідок безперервної роботи двигунів швидкість корабля наближається до швидкості світла. Крива, що зображає подібну світову лінію, називається гіперболою.Спостерігач, який знаходиться поблизу чорної діри і намагається залишитися на постійній відстані від неї, постійно відчуватиме прискорення, спричинене роботою ракетних двигунів корабля. Проникливі фізики запідозрять тому, що лінії "постійної висоти" у переглянутій та покращеній діаграмі простору-часу поблизу чорної діри будуть гілками гіперболу.

Нарешті, той спостерігач, який намагається втриматися на горизонті подій, повинен мати неймовірно потужні ракетні двигуни. Щоб він не впав усередину чорної діри, ці двигуни повинні працювати з такою потужністю, що спостерігач, якби він був у плоскому світі, рухався б зі швидкістю світла. Отже, світові лінії горизонту подій повинні бути нахилені в точності під кутом 45° у переглянутій та покращеній діаграмі простору-часу.

У 1960 р. незалежно друг від друга Крускал і Секереш знайшли необхідні перетворення, перекладають стару діаграму простору-часу для шварцшильдовской чорної діри на нову діаграму - переглянуту і поліпшену. Ця нова діаграма Крускала-Секерешакоректно покриває весь простір-час і виявляє глобальну структуру чорної діри. При цьому підтверджуються всі зазначені раніше підозри та виявляються деякі нові дивовижні та несподівані деталі. Однак, хоча перетворення Крускала і Секереша відразу переводять стару картину в нову, наочно уявити їх краще у вигляді послідовності перетворень, схематично зображених на рис. 9.7. Кінцевий результат - це знову-таки діаграма простору-часу (просторовий напрямок горизонтальне, а тимчасове - вертикальне), причому промені світла, що йдуть до чорної дірки і від неї, зображуються, як завжди, прямими з нахилом 45њ.

Кінцевий результат перетворення вражає і спочатку викликає недовіру: ви бачите, що там зображені насправді дві сингулярності, одна в минулому, а інша в майбутньому; До того ж далеко від чорної діри існують дві зовнішні Всесвіти.

Але насправді діаграма Крускала-Секереша правильна, і щоб зрозуміти це, ми знову розглянемо політ астронома, викинутого з сингулярності, що перетинає горизонт подій і знову падаючого назад. Ми вже знаємо, що його світова лінія на спрощеній діаграмі простору-часу незвичайна. Цю лінію знову зображено зліва на рис. 9.8. На діаграмі ж Крускала-Секереша (рис. 9.8, праворуч) така лінія виглядає набагато осмисленішою. Спостерігач насправді вискакує з сингулярності в минулому і, зрештою, потрапляє в сингулярність у майбутньому. Отже, такий "аналітично повний" опис рішення Шварцшильда включає якчорну, такта білу дірку. Наш астроном насправді вилітає з білої дірки і зрештою падає у чорну дірку. Зверніть увагу, що його світова лінія всюди нахилена до вертикалі менш ніж 45њ, тобто. ця лінія скрізь тимчасово подібна і тому допустима. Порівнюючи ж ліву та праву частини рис. 9.8, ви виявите, що "точки" моментів часу і на горизонті подій тепер розтягнулися у дві прямі лінії, що мають нахил 45њ, що підтверджує наші колишні підозри.

При переході до діаграми Крускала-Секереша виявляється справжня природа всього простору-часу поблизу шварцшильдівської чорної діри. На спрощеній діаграмі різні ділянки простору-часу перекривалися одна з одною. Саме тому віддалені вчені, спостерігаючи падіння астронома в чорну дірку (або його виліт із неї), помилково припускали, що є дваастрономії. На діаграмі Крускала-Секереша ці ділянки, що перекриваються, належним чином розплутані. На рис. 9.9 показано, як пов'язані між собою ці різні ділянки обох типах діаграм. Зовнішні Всесвіти насправді дві (області I і III), як і внутрішні частини чорної діри (області II і IV) між сингулярностями і горизонтом подій.

Корисно також проаналізувати, як окремі частини просторово-часової сітки перетворюються під час переходу від спрощеної діаграми до діаграми Крускала-Секереша. У спрощеному поданні (рис. 9.10) штрихові лінії постійних висот над сингулярністю - це прямі, спрямовані вертикально. Пунктирні лінії постійного координатного часу також прямі, але горизонтальні. Просторово-часова сітка виглядає як шматок звичайної міліметрівки.

На діаграмі Крускала-Секереша (рис. 9.11) лінії постійного часу (пунктирні) залишилися прямими, але вони розходяться під різними кутами. Лінії ж постійної відстані від чорної діри (штрихові) є гіперболи, як ми підозрювали раніше.

Аналізуючи рис. 9.11 можна зрозуміти, чому при переході через горизонт подій простір і час змінюються ролями, як уже говорилося в попередньому розділі. Згадаймо, що на спрощеній діаграмі (рис. 9.10) лінії постійної відстані спрямовані по вертикалі. Так, якась конкретна штрихова лінія може зображати точку, що постійно на висоті 10 км над чорною дірою. Така лінія має бути паралельна горизонту подій на спрощеній діаграмі, тобто. вона має бути вертикальною; оскільки вона зображує щось нерухоме у всі моменти часу, то лінія постійної відстані повинна мати тимчасовоподібний напрямок (іншими словами, вгору) на цій спрощеній діаграмі.

На рис. 9.11 зображена діаграма Крускала-Секереша; тут штрихові лінії постійної відстані мають у загальному напрям вгору, якщо взяти їх досить далеко від чорної дірки. Там вони все ще тимчасові. Однак усередині горизонту подій штрихові лінії постійної відстані орієнтовані загалом горизонтально. Отже, під горизонтом подій лінії постійної відстані мають просторовоподібний напрямок! Отже, те, що зазвичай (у зовнішньому Всесвіті) пов'язується з відстанню, поводиться всередині горизонту подій подібно до часу.

Аналогічно цьому на спрощеній діаграмі (рис. 9.10) лінії постійного часу горизонтальні і мають просторовоподібний напрямок. Наприклад, певна пунктирна лінія може означати момент "3 години дня для всіх точок простору". Така лінія повинна бути паралельна до просторової осі на спрощеній діаграмі, тобто. вона має бути горизонтальною.

На рис. 9.11 де зображена діаграма Крускала-Секереша, пунктирні лінії постійного часу загалом мають просторовоподібний напрямок, якщо взяти їх далеко від чорної діри, тобто. вони там майже горизонтальні. Але всередині горизонту подій пунктирні лінії постійного часу спрямовані загалом знизу нагору, тобто. спрямовані у временноподобном напрямку. Отже, під горизонтом подій лінії постійного часу мають тимчасовий напрямок! Отже, те, що зазвичай (у зовнішньому Всесвіті) пов'язується з часом, поводиться всередині горизонту подій подібно до відстані. При перетині горизонту подій простір та час змінюються ролями.

У зв'язку з обговоренням властивостей простору та часу важливо зазначити, що на діаграмі Крускала-Секереша (рис. 9.11) обидві сингулярності (і в минулому, і в майбутньому) орієнтовані горизонтально. Обидві гіперболи, що зображають "крапку" r= 0, мають скрізь нахил менше 45њ довертикалі. Ці лінії просторовоподібні, і тому кажуть, що шварцшильдівська сингулярність просторовоподібна.

Той факт, що шварцшильдівська сингулярність просторовоподібна, призведе до важливих висновків. Як і в приватній теорії відносності (див. рис. 1.9), тут неможливо рухатися з надсвітловою швидкістю, так що просторовоподібні світові лінії як "шляхів" руху заборонені. Рухатися по світових лініях, що володіють нахилом більше 45° до вертикального (тимчасово) напрямку, неможливо. Тому неможливо потрапити з нашого Всесвіту (на діаграмі Крускала-Секереша праворуч) до іншого Всесвіту (на цій же діаграмі зліва). Будь-який шлях, що пов'язує один з одним обидва Всесвіти, повинен хоча б в одному місці бути просторовоподібним, а такі шляхи заборонені для руху. Крім того, оскільки горизонт подій нахилений точно під кутом 45њ, то астроном з нашого Всесвіту, що опустився під цей горизонт, ніколи більше не зможе з-під нього вийти. Наприклад, якщо хтось проникне в область II на рис. 9.9, то Уседопустимі тимчасовоподібні світові лінії приведуть його прямо до сингулярності. Шварцшильдівська чорна діра-це пастка без виходу.

Щоб повніше відчути природу геометрії Крускала-Секереша, повчально розглянути просторовоподібні зрізи діаграми простору-часу, виконані цими авторами. Це будуть діаграми вкладеннявикривлений простір поблизу чорної діри. Такий метод отримання зрізів простору-часу за просторовоподібними гіперповерхнями застосовувався нами і раніше (див. рис. 5.9, 5.10 та 5.11) і полегшив розуміння властивостей простору на околицях Сонця.

На рис. 9.12 зображена діаграма Крускала-Секереша, "нарізана скибочками" за характерними просторовоподібними гіперповерхнями. Зріз Авідноситься до раннього моменту часу. Спочатку два Всесвіти, що знаходяться поза чорною діркою, не пов'язані між собою. На шляху від одного Всесвіту до іншого просторовоподібний зріз наштовхується на сингулярність. Тому діаграма вкладення для зрізу Аописує дві роздільні Всесвіти (зображені у вигляді двох паралельних один одному асимптотично плоских листів), у кожному з яких є сингулярність. Пізніше за подальшої еволюції цих Всесвітів сингулярності з'єднуються і виникає місток, у якому сингулярностей вже немає. Це відповідає зрізу Б,куди сингулярність не входить З часом цей місток, або "кротова нора",розширюється і досягає найбільшого діаметра, що дорівнює двом шварцшильдівським радіусам (момент, що відповідає зрізу У).Пізніше місток починає знову стягуватися (зріз Г)і нарешті розривається (зріз Д), так що ми маємо знову два роздільні Всесвіти. Така еволюція кротової нори (рис. 9.12) займає менше 1/10 000 с, якщо чорна діра має масу Сонця.

Виявлення Крускалом і Секерешем подібної глобальної структури простору-часу у чорної діри стало вирішальним проривом на фронті теоретичної астрофізики. Вперше вдалося побудувати діаграми, що повністю зображують усі області простору та часу. Але після 1960 р. було досягнуто нових успіхів, насамперед Роджером Пенроузом. Хоча на діаграмі Крускала - Секереша і представлена ​​вся історія, ця діаграма простягається праворуч і ліворуч нескінченно далеко. Наприклад, наш Всесвіт простягається на нескінченну відстань вправо на діаграмі Крускала-Секереша, тоді як ліворуч на тій же діаграмі до нескінченності йде простір-час "інший" асимптотично плоского Всесвіту, який паралельний нашому. Пенроуз першим зрозумів, наскільки корисно і повчально було б користуватися "картою", що відображає ці нескінченні простори на якісь кінцеві області, по яких можна було б точно судити про те, що відбувається далеко від чорної діри. Щоб здійснити цю ідею, Пенроуз залучив так звані методи конформного відображення,за допомогою яких весь простір-час, включаючи повністю і обидва Всесвіти, зображується на одній кінцевій діаграмі.

Щоб познайомити вас із методами Пенроуза, звернемося до звичайного плоского простору-часу типу зображеного на рис. 9.2. Весь простір-час там зосереджено на правій стороні діаграми просто тому, що неможливо опинитися на негативній відстані довільного початку. Ви можете перебувати від нього, скажімо, за 2 м, але аж ніяк не за мінус 2 м. Повернемося до рис. 9.2. Світові лінії Борі, Васі та Маші зображені там лише на обмеженій області простору-часу через обмеженість розмірів сторінки. Якщо вам захочеться подивитися, де будуть Боря, Вася та Маша через тисячу років або де вони були мільярд років тому, вам знадобиться набагато більший аркуш паперу. Набагато зручніше було б зобразити всі ці далекі від точки "тут і тепер" положення на компактній, невеликій діаграмі.

Ми вже зустрічалися з тим, що "найвіддаленіші" області простору-часу називаються нескінченностями.Ці області дуже далекі від "тут і тепер" у просторі або в часі (останнє означає, що вони можуть перебувати в дуже далекому, майбутньому або дуже далекому минулому). Як видно із рис. 9.13 може бути п'ять типів нескінченностей. Насамперед це I - -тимчасово нескінченність у минулому.Вона є тим "місцем", звідки походять всі матеріальні об'єкти (Боря, Вася, Маша, Земля, галактики та інше). Всі такі об'єкти рухаються тимчасово світовими лініями і повинні піти в I+ - тимчасово подібну нескінченність майбутнього,кудись у мільярди років після "тепер". Крім того, є I 0 - просторовоподібна нескінченність,і так як ніщо не може рухатися швидше світла, то ніщо (крім хіба тахіонів) не може ніколи потрапити в I 0 . Якщо швидше світла не рухається жодної з відомих фізики об'єктів, то фотони рухаються точно зі швидкістю світла по світових лініях, нахиленим на 45њ на діаграмі простору-часу. Це дає можливість ввести - світлову нескінченність минулого,звідки надходять усі світлові промені. Існує, нарешті, і - світлова нескінченність майбутнього(куди йдуть усі "світлові промені.) Будь-яка віддалена область простору-часу належить одній з цих п'яти нескінченностей; I -, , I 0 , або I+.

Рис. 9.13. Нескінченності.Найбільш віддалені "окраїни" простору-часу (нескінченності) поділяються на п'ять типів. Тимчасово нескінченність минулого ( I -)-та область, звідки приходять всі матеріальні тіла, а тимчасово нескінченність майбутнього ( I+)-та область, куди вони всі йдуть. Світлова нескінченність минулого () - та область, звідки приходять світлові промені, а світлова нескінченність майбутнього - та область ( I+), куди вони йдуть. Ніщо (крім тахіонів) не може потрапити в просторовоподібну нескінченність ( I 0).

Рис. 9.14. Конформне відображення за Пенроуз.Існує математичний прийом, за допомогою якого вдається "стягнути" найвіддаленіші околиці простору-часу (всі п'ять нескінченностей) у цілком осяжну кінцеву область.

p align="justify"> Метод Пенроуза зводиться до математичного прийому стягування всіх цих нескінченностей на один і той же аркуш паперу. Перетворення, що здійснюють таке стягування, діють на зразок бульдозерів (див. образне уявлення цих перетворень на рис. 9.14), що згрібають найвіддаленіші ділянки простору-часу туди, де їх можна краще розглянути. Результат такого перетворення представлено на рис. 9.15. Слід мати на увазі, що лінії постійної відстані від довільної точки відліку в основному вертикальні і завжди вказують на тимчасовий напрямок. Лінії постійного часу в основному горизонтальні і завжди вказують просторовоподібний напрямок.

На конформноїкарті всього плоского простору-часу (рис. 9.15) простір-час як ціле вмістилося в трикутнику. Вся тимчасово нескінченність у минулому ( I -) зібрана в одну-єдину точку внизу діаграми. Усі тимчасовоподібні світові лінії всіх матеріальних об'єктів виходять із цієї точки, що зображує надзвичайно віддалене минуле. Вся тимчасово нескінченність у майбутньому ( I+) зібрана в одну-єдину точку вгорі діаграми. Тимчасово світові лінії всіх матеріальних об'єктів у Всесвіті зрештою впираються в цю точку, що зображає далеке майбутнє. Просторовоподібна нескінченність ( I 0) зібрана в крапку праворуч на діаграмі. Ніщо (крім тахіонів) ніколи не може потрапити в I 0 . Світлові нескінченності у минулому та у майбутньому і перетворилися на прямі з нахилом 45њ, що обмежують діаграму праворуч угорі і праворуч внизу по діагоналях. Світлові промені завжди йдуть по світових лініях з нахилом 45°, так що світло, що приходить з віддаленого минулого, починає свій шлях десь на , а той, хто йде в далеке майбутнє, закінчує свій шлях десь на . Вертикальна пряма, що обмежує діаграму зліва, - це просто тимчасово подібна світова лінія обраної нами довільної початкової точки відліку ( r = 0).

Рис. 9.15. Діаграма Пенроуза для плоского простору-часу.Весь простір-час зібрано всередину трикутника за допомогою способу конформного відображення, придуманого Пенроуз. З п'яти нескінченностей три ( I -, I 0 , I+ ) стиснуті до окремих точок, а дві - світлові нескінченності і- стали прямими лініями, що мають нахил 45њ.	Рис. 9.16. Приклад конформної діаграми Пенроуз.Ця діаграма зображує практично те саме, що і рис. 9.2. Однак на конформній діаграмі світові лінії об'єктів представлені повністю (від віддаленого минулого I -до далекого майбутнього I+).

Щоб покінчити з описом конформної діаграми Пенроуза плоского простору-часу, ми, зобразили на рис. 9.16 повністю світові лінії Борі, Васі та Маші. Порівняйте цю діаграму із рис. 9.2-адже це одне й те саме, тільки на конформній діаграмі світові лінії простежуються на всьому їхньому протязі (від віддаленого минулого I -до далекого майбутнього I+)

Зображення звичайного плоского простору-часу за способом Пенроуз не дає нічого сенсаційного. Однак спосіб Пенроуза застосовний і до чорних дірок! Зокрема, діаграму Крускала-Секереша (див. рис. 9.11) можна відобразити конформно таким чином, що фізик побачить Усепростір-час всіх Всесвітів зображеним на одному-єдиному аркуші паперу. Як це наочно зображено на рис. 9.17, конформні перетворення Пенроуза тут знову працюють подібно до бульдозерів, що "згрібають" простір-час. Остаточний результат показано на рис. 9.18.

На діаграмі Пенроуза шварцшильдівської чорної діри (рис. 9.18) ми знову помічаємо, що лінії постійного часу та лінії постійної відстані поводяться по суті так само, як і на діаграмі Крускала-Секереша. Горизонт подій зберігає свій нахил в 45?, а сингулярності (як у минулому, так і в майбутньому) залишаються просторовоподібними. Обмін ролями між простір і часом, як і раніше, відбувається при перетині горизонту подій. Однак тепер найвіддаленіші частини обох пов'язаних із чорною діркою Всесвіту знаходяться у нас перед очима. Всі п'ять нескінченностей нашого Всесвіту ( I -, , I 0 , , I+ ) видно праворуч на діаграмі, а зліва на ній же можна побачити всі п'ять нескінченностей іншого Всесвіту. I -, , I 0 , , I+ ).

Ми можемо тепер перейти до заключної вправи із шварцшильдівською чорною діркою – з'ясувати, що побачать відчайдушно допитливі астрономи-камікадзе, що падають на чорну дірку та перетинаютьгоризонт подій.

Космічний корабель цих астрономів зображено на рис. 9.19. Носовий ілюмінатор завжди спрямований прямо на сингулярність, а кормовий - у протилежний бік, тобто на наш зовнішній Всесвіт. Зазначимо, що космічний корабель тепер не має ракетних двигунів для уповільнення його падіння. Почавши рух з великої висоти над чорною діркою, астрономи просто вертикально падають з швидкістю, що все збільшується (за їх вимірюванням). Їхня світова лінія (рис. 9.20) проходить спочатку через горизонт подій, а потім веде в сингулярність. Оскільки їхня швидкість завжди менша за швидкість світла, то світова лінія корабля на діаграмі Пенроуза має бути тимчасовоподібною, тобто. всюди володіти нахилом до вертикалі менше 45њ. Під час подорожі астрономи роблять на різних етапах шляху чотири пари фотографій – по одній із кожного ілюмінатора. Перша пара (знімки А)зроблено, коли вони були ще дуже далеко від чорної дірки. На рис. 9.21, Авидно чорну дірку як маленьку цятку в центрі поля зору носового ілюмінатора. Хоча в безпосередній близькості від чорної діри вигляд неба спотворений, його решта виглядає цілком звичайно. У міру того як швидкість падіння астрономів на чорну дірку зростає, світло від об'єктів з віддаленого Всесвіту, що спостерігається через кормовий ілюмінатор, відчуває дедалі сильніше червоне зміщення.

Рис. 9.21. Фото А. Далеко від чорної дірки.З великої відстані чорна діра виглядає як маленька чорна цятка в центрі поля зору носового ілюмінатора. Астрономи, що падають у дірку, спостерігають через кормовий ілюмінатор неспотворений вид Всесвіту, з якого вони прилетіли. Фото Б. Ні горизонті подій.Завдяки ефекту аберації зображення чорної діри стиснуте у бік центру поля зору носового ілюмінатора. Астроном, який веде спостереження в кормовий ілюмінатор, бачить лише той Всесвіт, з якого прибув корабель. Фото В. Між горизонтом подій та сингулярністю.Опустившись під горизонт подій, астроном, що спостерігає носовий ілюмінатор, може бачити інший Всесвіт. Інше Всесвіт, що приходить з області, світ заповнює центральну частину його поля зору. Фото Г. Безпосередньо над сингулярністю.Коли астрономи наближаються до сингулярності, через носовий ілюмінатор стає все краще видно інший Всесвіт. Зображення ж власне чорної діри (що має вигляд кільця) стає все тоншим і тоншим, швидко наближаючись до краю поля зору носового ілюмінатора.

Хоча, за твердженням віддалених спостерігачів, падіння космічного корабля сповільнюється до повної його зупинки на горизонті подій. самомукосмічному кораблі нічого подібного не помітять. На їхню думку, швидкість корабля постійно зростає і при перетині горизонту подій вона становить помітну частку швидкості світла. Це істотно з тієї причини, що в результаті астрономи, що падають, спостерігають явище аберації світла зірок, дуже схоже на розглянуте нами в гол. 3 (див. рис. 3.9, 3.11). Згадайте, що під час руху з навколосвітньою швидкістю ви помітите сильні спотворення картини неба. Зокрема, зображення небесних тіл ніби збираються попереду спостерігача, що рухається. Внаслідок цього ефекту зображення чорної діри концентрується ближче до середини носового ілюмінатора падаючого космічного корабля.

Картина, що спостерігається астрономами, що падають з горизонту подій, показана на рис. 9.21, Б. Цей і наступні малюнки побудовані на підставі розрахунків, зроблених Кеннінгемом у Каліфорнійському технологічному інституті в 1975 р. Якби астрономи лежали, зображення чорної діри займало б все поле зору носового ілюмінатора (рис. 8.15, Д). Але оскільки вони рухаються з великою швидкістю, зображення зосереджується у середині носового ілюмінатора. Його кутовий діаметр приблизно дорівнює 80њ. Вигляд неба поруч із чорною дірою дуже сильно спотворений, а астроном, що веде спостереження через кормовий ілюмінатор, бачить лише той Всесвіт, з якого вони прилетіли.

Для розуміння того, що буде видно, коли корабель перебуватиме всерединігоризонту подій, повернемося до діаграми Пенроуза шварцшильдівської чорної діри (див. рис. 9.18 або 9.20). Згадаємо, що світлові промені, що йдуть у чорну дірку, мають на цій діаграмі нахил 45њ. Тому, опинившись під горизонтом подій, астрономи зможуть бачити й інший Всесвіт. Промені світла з віддалених частин іншого Всесвіту (тобто з його нескінченності у лівій частині діаграми Пенроуза зможуть тепер дійти до астрономів. Як показано на рис. 9.21, В, у центрі поля зору носового ілюмінатора космічного корабля, що знаходиться між горизонтом подій та сингулярністю, видно інший Всесвіт. Чорна частина дірки представляється тепер у вигляді кільця,відокремлює зображення нашого Всесвіту від зображення іншого Всесвіту. У міру наближення падаючих спостерігачів до сингулярності чорне кільце стає дедалі тоншим, притискаючись до краю поля зору носового ілюмінатора. Вигляд неба з точки прямо над сингулярністю показано на рис. 9.21, Г. У носовий ілюмінатор стає все краще і краще видно інший Всесвіт, а прямо на сингулярності її вигляд повністю заповнює поле зору носового ілюмінатора. Астроном же, який проводить спостереження через кормовий ілюмінатор, бачить протягом усього польоту лише наш зовнішній Всесвіт, хоча його зображення стає дедалі більше спотвореним.

Астрономи, що падають, відзначать ще один важливий ефект, який не відображений на "знімках" 9.21, А-Г. Згадаймо, що світло, що йде з околиць горизонту подій у віддалений Всесвіт, зазнає сильне червоне зміщення. Це явище, зване гравітаційним червоним зсувом,ми обговорювали в гол. 5 і 8. Червоне усунення світла, що надходить з області з сильним гравітаційним полем, відповідає втраті їм енергії. Назад, коли світло "падає" на чорну дірку, він відчуває фіолетове зміщенняі набуває енергії. Слабкі радіохвилі, що приходять з віддаленого Всесвіту туди, перетворюються, наприклад, на потужні рентгенівські або гамма-промені безпосередньо над горизонтом подій. Якщо описуються діаграмами Пенроуза типу зображеної на рис. 9.18 чорні дірки справдііснують у природі, то світло, що падає на них з , накопичується протягом мільярдів років біля горизонту подій. Це падаюче світло набуває жахливої ​​енергії, і коли астрономи опускаються під горизонт подій, вони зустрічаються тому з несподіваним різким спалахом рентгенівських і гамма-променів. Те світло, яке приходить з області - рішення Шварцшильда - рішення Керра - біла діра - сингулярність

Див. також:Всі публікації на ту саму тему >>

У цій метриці записується як

ds 2 = (1 − rsr) c 2 dt 2 − dr 2 (1 − rsr) − r 2 (sin 2 ⁡ θ d φ 2 + d θ 2) , (\displaystyle ds^(2)=\left(1 -(\frac (r_(s))(r))\right)c^(2)dt^(2)-(\frac (dr^(2))(\left(1-\displaystyle (\frac ( r_(s))(r))\right)))-r^(2)\left(\sin ^(2)\theta \,d\varphi ^(2)+d\theta ^(2)\right ),)

де r s = 2 G M c 2 (\displaystyle r_(s)=(\frac (2GM)(c^(2))))- так званий радіус Шварцшільда, або гравітаційний радіус , M (\displaystyle M)- маса, що створює гравітаційне поле (зокрема, маса чорної дірки), G (\displaystyle G) - гравітаційна постійна , c (\displaystyle c) - швидкість світла. При цьому область зміни координат − ∞ < t < ∞ , r s < r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π {\displaystyle -\infty з ототожненням точок (t, r, θ, φ = 0) (\displaystyle (t,r,\theta,\varphi =0))і (t, r, θ, φ = 2 π) (\displaystyle (t,r,\theta,\varphi =2\pi)), як у звичайних сферичних координатах.

Координата r (\displaystyle r)не є довжиною радіус-вектора, а вводиться так, щоб площа сфери t = c o ns t , r = r 0 (\displaystyle t=\mathrm (const) ,\;r=r_(0))у цій метриці дорівнювала 4 π r 0 2 (\displaystyle 4\pi r_(0)^(2)). При цьому «відстань» між двома подіями з різними r (\displaystyle r)(але однаковими іншими координатами) дається інтегралом

∫ r 1 r 2 d r 1 − r s r > r 2 − r 1 , r 2 , r 1 > r s . (\displaystyle \int \limits _(r_(1))^(r_(2))(\frac (dr)(\sqrt (1-\displaystyle (\frac (r_(s))(r)))) )>r_(2)-r_(1),\qquad r_(2),\;r_(1)>r_(s).)

При M → 0 (\displaystyle M\to 0)або r → ∞ (\displaystyle r\to \infty )метрика Шварцшильда прагне (покомпонентно) до метрики Мінковського у сферичних координатах, отже далеко від масивного тіла M (\displaystyle M)простір-час виявляється приблизно псевдоевклідовимсигнатури (1 , 3) ​​(\displaystyle (1,3)). Так як g 00 = 1 − r s r ⩽ 1 (\displaystyle g_(00)=1-(\frac (r_(s))(r))\leqslant 1)при r > r s (\displaystyle r>r_(s))і g 00 (\displaystyle g_(00))монотонно зростає зі зростанням r (\displaystyle r), то свій час у точках поблизу тіла «тече повільніше», ніж далеко від нього, тобто відбувається гравітаційне уповільнення часу масивними тілами.

Диференціальні характеристики

Для центрально-симетричного гравітаційного поля в порожнечі (а це є випадок метрики Шварцшильда) можна покласти:

g 00 = e ν, g 11 = − e λ; λ + ν = 0 , e − λ = e ν = 1 − r s r . (\displaystyle g_(00)=e^(\nu ),\quad g_(11)=-e^(\lambda );\quad \lambda +\nu =0,\quad e^(-\lambda )= e^(\nu )=1-(\frac (r_(s))(r)).)

Тоді не рівні нулю незалежні символи Крістоффелямають вигляд

Γ 11 1 = λ r ′ 2 , Γ 10 0 = r ′ 2 , Γ 33 2 = − sin θ cos θ θ , (\displaystyle \Gamma _(11)^(1)=(\frac (\lambda _(r)^(\prime ))(2)),\quad \Gamma _(10)^(0)=(\frac (\nu _(r)^(\prime ))(2)),\ quad \Gamma _(33)^(2)=-\sin \theta \cos \theta ,) Γ 11 0 = λ t ′ 2 e λ − ν , Γ 22 1 = − re − λ , Γ 00 1 = r 2 e ν − λ , (\displaystyle \Gamma _(11)^(0)=( \frac (\lambda _(t)^(\prime ))(2))e^(\lambda -\nu ),\quad \Gamma _(22)^(1)=-re^(-\lambda ) ,\quad \Gamma _(00)^(1)=(\frac (\nu _(r)^(\prime ))(2))e^(\nu -\lambda ),) Γ 12 2 = Γ 13 3 = 1 r , Γ 23 3 = ctg θ , Γ 00 0 = t ′ 2 , (\displaystyle \Gamma _(12)^(2)=\Gamma _(13)^(3 )=(\frac (1)(r)),\quad \Gamma _(23)^(3)=\operatorname (ctg) \,\theta ,\quad \Gamma _(00)^(0)=( \frac (\nu _(t)^(\prime ))(2)),) Γ 10 1 = λ t ′ 2 , Γ 33 1 = − r sin 2 ⁡ θ e − λ. (\displaystyle \Gamma _(10)^(1)=(\frac (\lambda _(t)^(\prime ))(2)),\quad \Gamma _(33)^(1)=-r \sin ^(2)\theta \,e^(-\lambda ).) I 1 = (r s 2 r 3) 2 , I 2 = (r s 2 r 3) 3 . (\displaystyle I_(1)=\left((\frac (r_(s))(2r^(3)))\right)^(2),\quad I_(2)=\left((\frac ( r_(s))(2r^(3)))\right)^(3).)

Тензор кривизни відноситься до типу D (\displaystyle \mathbf (D) ) по Петрову.

Дефект маси

Якщо є сферично-симетричний розподіл матерії «радіуса» (з точки зору координат) a (\displaystyle a), то повна маса тіла може бути виражена через нього тензор енергії-імпульсуза формулою

m = 4 π c 2 ∫ 0 a T 0 0 r 2 d r . (\displaystyle m=(\frac (4\pi )(c^(2)))\int \limits _(0)^(a)T_(0)^(0)r^(2)\,dr. )

Зокрема, для статичного розподілу речовини T 0 0 = ε (\displaystyle T_(0)^(0)=\varepsilon ), де ε (\displaystyle \varepsilon )- Щільність енергії в просторі. Враховуючи, що обсяг шарового шару в обраних нами координатах дорівнює

d V = 4 π r 2 g 11 dr > 4 π r 2 dr , 2) \, dr,)

отримаємо, що

m = ∫ 0 a ε c 2 4 π r 2 d r< ∫ V ε c 2 d V . {\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}

Ця відмінність виражає собою гравітаційний дефект маси тіла. Можна сміливо сказати, що частина повної енергії системи міститься у енергії гравітаційного поля, хоча локалізувати цю енергію у просторі неможливо.

Особливість у метриці

На перший погляд, метрика містить дві особливості: при r = 0 (\displaystyle r=0)і при . Справді, у Шварцшильдівських координатах частинці, що падає на тіло, знадобиться нескінченно великий час. t (\displaystyle t)для досягнення поверхні r = r s (\displaystyle r=r_(s)), однак перехід, наприклад, до координатам Леметрав супутньої системи відлікупоказує, що з погляду падаючого спостерігача ніякої особливості простору-часу на даній поверхні немає, причому як сама поверхня, так і область r ≈ 0 (\displaystyle r\approx 0)будуть досягнуті за кінцеве власний час.

Реальна особливість метрики Шварцшильда спостерігається лише за r → 0 (\displaystyle r\to 0), де прагнуть нескінченності скалярні інваріанти тензора кривизни. Ця особливість ( сингулярність) не може бути усунена зміною системи координат.

Горизонт подій

Поверхня r = r s (\displaystyle r=r_(s))називається горизонтом подій . При більш вдалому виборі координат, наприклад, координатах Леметраабо Крускала, можна показати, що жодні сигнали не можуть вийти з чорної діри через обрій подій. У цьому сенсі не дивно, що поле поза Шварцшильдівською чорною діркою залежить лише від одного параметра - повної маси тіла.

Координати Крускала

Можна спробувати ввести координати, які не дають сингулярностіпри r = r s (\displaystyle r=r_(s)). Таких координатних систем відомо безліч, і найчастіше зустрічається з них є система координат Крускала, яка покриває однією картою все максимально продовжене різноманіття, що задовольняє вакуумним рівнянням Ейнштейна (без постійної космологічної). Це більшепростір-час M ~ (\displaystyle (\tilde (\mathcal (M))))називається зазвичай (максимально продовженим) простором Шварцшильда або (рідше) простором Крускала ( Діаграма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала має вигляд

ds 2 = − F (u , v) 2 dudv + r 2 (u , v) (d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2) , (2) (\displaystyle ds^(2)=-F(u ,v)^(2)\,du\,dv+r^(2)(u,v)(d\theta ^(2)+\sin ^(2)\theta \,d\varphi ^(2) ),\qquad \qquad (2))

де F = 4 r s 3 r e − r / r s (\displaystyle F=(\frac (4r_(s)^(3))(r))e^(-r/r_(s))), а функція r (u, v) (\displaystyle r(u,v))визначається (неявно) рівнянням (1 − r / r s) e r / r s = u (\displaystyle (1-r/r_(s))e^(r/r_(s))=uv).

Майстерна технологія Шварцшильда мала лише відносний успіх. Ні його метод, ні його інтерпретація були взяті на озброєння. З його роботи не зберегли майже нічого, крім «голого» результату метрики, з якою пов'язали її творця. Але питання інтерпретації і передусім питання «сингулярності Шварцшильда» вирішені були. Стала викристалізовуватися думка, що ця сингулярність не має значення. До цієї точки зору вели два шляхи: з одного боку, теоретичний, згідно з яким «сингулярність Шварцшильда» непроникна, і з іншого боку, емпіричний, що полягає в тому, що «цього в природі не існує». Ця думка поширилася і стала домінуючою у всій спеціальній літературі на той час.

Наступний етап пов'язані з інтенсивним дослідженням питань гравітації початку «золотого століття» теорії відносності.